Trekantareal med punkt på tredjegradsgraf optimering

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $g$ er gitt ved

g (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 13 x + 15

Et punkt $P (s, g (s))$ ligger på grafen til $g$ , der $s \in ⟨ 1,5 ⟩$ . Punktene $A (1,0)$ , $B (s, 0)$ og $P (s, g (s))$ danner en trekant $A B P$ .

Bestem den eksakte verdien av $s$ som gir det største arealet til trekanten. Hvor stort er dette arealet?

Fasit

$s = 2 \sqrt{2} + 1$ , største areal $= 32$

LøsningsforslagKI-generert

Vi faktoriserer $g (x)$ for å finne nullpunktene:

g (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 13 x + 15 = (x - 1) (x + 3) (x - 5)

Nullpunktene er $x = - 3$ , $x = 1$ og $x = 5$ .

Arealfunksjonen

Trekanten $A B P$ har:

Grunnlinje $A B$ langs $x$ -aksen fra $A (1,0)$ til $B (s, 0)$ , med lengde $s - 1$
Høyde lik den loddrette avstanden fra $P (s, g (s))$ til $x$ -aksen, altså $| g (s) |$

For $s \in ⟨ 1, 5 ⟩$ er $g (s) < 0$ (grafen ligger under $x$ -aksen mellom nullpunktene $x = 1$ og $x = 5$ ), så $| g (s) | = - g (s)$ .

Arealet til trekanten er:

T (s) = \frac{1}{2} \cdot (s - 1) \cdot (- g (s)) = \frac{1}{2} (s - 1) (- (s^{3} - 3 s^{2} - 13 s + 15))

T (s) = - \frac{1}{2} s^{4} + 2 s^{3} + 5 s^{2} - 14 s + \frac{15}{2}

Finn maksimum

Vi deriverer og setter $T^{'} (s) = 0$ :

T^{'} (s) = - 2 s^{3} + 6 s^{2} + 10 s - 14

T^{'} (s) = 0 ⟹ s = - 2 \sqrt{2} + 1, s = 1, s = 2 \sqrt{2} + 1

Siden $s \in ⟨ 1, 5 ⟩$ er den eneste relevante løsningen $s = 2 \sqrt{2} + 1 \approx 3,83$ .

Verifikasjon med andrederivattesten: $T^{''} (s) = - 6 s^{2} + 12 s + 10$ , og

T^{''} (2 \sqrt{2} + 1) = - 32 < 0

så $s = 2 \sqrt{2} + 1$ gir et maksimum.

Beregn arealet

g (2 \sqrt{2} + 1) = - 16 \sqrt{2}

T (2 \sqrt{2} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 \sqrt{2} + 1 - 1) \cdot 16 \sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 16 \sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 2 = 32

Det største arealet til trekanten $A B P$ er $𝟑𝟐$ , og det oppnås for $s = 2 \sqrt{2} + 1$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2022, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Optimering, Derivasjon, Funksjoner

Trekantareal med punkt på tredjegradsgraf optimering

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Trekantareal med punkt på tredjegradsgraf optimering

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Trekantareal med punkt på tredjegradsgraf optimering

Trekantareal med punkt på tredjegradsgraf optimering

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer