Tredjegradsfunksjon med ukjente koeffisienter

Oppsett for hånd

En tredjegradsfunksjon $f$ er gitt ved

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x - 64

Punktet $(- 8, 0)$ er et toppunkt på grafen til $f$ .
Den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i intervallet $[0, 5]$ er $\frac{64}{5}$ .

Bestem $a$ , $b$ og $c$ .

Fasit

$a = \frac{1}{5}, b = \frac{11}{5}, c = - \frac{16}{5}$

Løsningsforslag

Vi vet at $f^{'} (x) = 0$ i toppunktet, så jeg begynner med å derivere funksjonen og setter uttrykket lik null

\begin{matrix} f^{'} (x) & = 3 a x^{2} + 2 b x + c \\ f^{'} (- 8) & = 3 a \cdot {(- 8)}^{2} + 2 b \cdot (- 8) + c \\ 0 & = 3 a \cdot 64 + (- 16 b) + c \\ 0 & = 192 a - 16 b + c \end{matrix}

Vi kan også sette opp en likning for funksjonsverdien ved toppunktet.

\begin{matrix} f (x) & = a x^{3} + b x^{2} + c x - 64 \\ f (- 8) & = a {(- 8)}^{3} + b {(- 8)}^{2} + c (- 8) - 64 \\ 0 & = - 512 a + 64 b - 8 c - 64 \end{matrix}

Til slutt kan vi sette opp en likning for gjennomsnittlig vekstfart i intervallet $x \in [0,5]$ .

\begin{matrix} \frac{64}{5} & = \frac{f (5) - f (0)}{5 - 0} \\ \frac{64}{5} & = \frac{(a \cdot 5^{3} + b \cdot 5^{2} + c \cdot 5 - 64) - (0 + 0 + 0 - 64)}{5} \\ \frac{64}{5} & = \frac{125 a + 25 b + 5 c}{5} \\ 64 & = 125 a + 25 b + 5 c \\ 0 & = 125 a + 25 b + 5 c - 64 \end{matrix}

Det var først nå jeg la merke til at dette var en del 2 oppgave, så jeg løste likningssystemet i GeoGebra 😄. Se utklippet.

Løsning av likningssystem i GeoGebra

a = \frac{1}{5}, b = \frac{11}{5}, c = - \frac{16}{5}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

I utgangspunktet kan kandidaten få 1 poeng for hver opplysning (punkt på graf, toppunkt, gjennomsnittlig vekstfart) som tolkes og brukes riktig. For å få full uttelling, må kandidaten i tillegg komme fram til riktig svar.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2023, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Gjennomsnittlig vekstfart, Likningssystem
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Tredjegradsfunksjon med ukjente koeffisienter

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tredjegradsfunksjon med ukjente koeffisienter

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tredjegradsfunksjon med ukjente koeffisienter

Tredjegradsfunksjon med ukjente koeffisienter

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer