Vi faktoriserer $f(x)$ ved å sette $x$ utenfor parentes:

Et produkt er null når minst én faktor er null, så

$\underline{\underline{x=0\text{ eller }x=k}}$

Vi deriverer $f(x)=x^3-2k{x}^2+k^{2}x$ ledd for ledd (husk at $k$ er en konstant):

$\underline{\underline{f^{\prime }(x)=3x^2-4kx+k^2}}$

Fra a) vet vi at grafen til $f$ har to nullpunkter: $x=0$ (enkel rot, grafen krysser $x$-aksen) og $x=k$ (dobbel rot, grafen tangerer $x$-aksen der). Siden $k>0$, ligger begge nullpunktene i eller til høyre for origo, med $x=k$ lengst til høyre.

Leddet med høyest grad, $x^3$, har positiv koeffisient, så grafen skal gå mot $-\infty$ når $x\to -\infty$ og mot $+\infty$ når $x\to +\infty$.

Vi finner topp- og bunnpunkt ved å løse $f^{\prime }(x)=0$ (nullpunktene til andregradsuttrykket fra b)):

Siden $0<\frac{k}{3}<k$, ligger toppunktet ($x=\frac{k}{3}$) mellom de to nullpunktene, og bunnpunktet er nettopp det doble nullpunktet $x=k$ (grafen tangerer $x$-aksen der, altså $f(k)=0$, i tråd med at et bunnpunkt på $x$-aksen svarer til en dobbeltrot).

Dette gir følgende forløp: grafen kommer fra $-\infty$, krysser $x$-aksen i $x=0$, stiger til et toppunkt (med positiv $y$-verdi) i $x=\frac{k}{3}>0$, synker til et bunnpunkt som tangerer $x$-aksen i $x=k$, og stiger deretter mot $+\infty$.

Av de tre grafene er det bare graf C som har denne formen: krysser aksen i origo, topp- og bunnpunkt begge til høyre for $y$-aksen, og bunnpunktet ligger akkurat på $x$-aksen. (Graf A går mot $-\infty$ for store $x$, og graf B mangler separate topp- og bunnpunkter.)

$\underline{\underline{\text{Graf C er grafen til }f}}$

Fra c) er toppunktet $(\frac{k}{3},f\left(\frac{k}{3}\right))$ og bunnpunktet $(k,f(k))=(k,0)$ (siden $x=k$ er nullpunkt).

Vi setter opp $f(x)$ i CAS og lar CAS regne ut stigningstallet til linjen gjennom disse to punktene direkte:

CAS gir $-2\cdot {\displaystyle \frac{k^2}{9}}$.

$\underline{\underline{\text{Stigningstall}=-{\displaystyle \frac{2}{9}}{k}^2}}$

Grafen har en tangent med stigningstall $-\frac{1}{3}{k}^2$ i de $x$-verdiene der $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{3}{k}^2$. Vi bruker $f^{\prime }(x)$ fra b):

Vi ganger begge sider med $3$ og samler alt på venstre side:

Dette er en andregradslikning i $x$. Diskriminanten er

Siden $d=0$, har likningen nøyaktig én løsning, altså finnes det bare én $x$-verdi der stigningstallet til tangenten er $-\frac{1}{3}{k}^2$ — og dermed bare én slik tangent. Løsningen er

Tangeringspunktet $T$ har altså $x$-koordinat $\frac{2}{3}k$. $y$-koordinaten finner vi ved å sette inn i $f(x)=x{(x-k)}^2$ fra a):

$\underline{\underline{T=({\displaystyle \frac{2}{3}}k,{\displaystyle \frac{2}{27}}{k}^3)}}$