Topp- og bunnpunkt for eksponentialfunksjon med konstant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + C}

der $C$ er en konstant.

For hånd

Finnes det noen verdier for $C$ som gjør at grafen til $f$ har et topp- eller bunnpunkt?

For hånd

Undersøk og bestem hvilke verdier for $C$ som gjør at grafen til $f$ har et vendepunkt.

For hånd

Anta $C > 0$ . Vis at $f (x + \ln C) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

Beskriv hvordan grafen til $f$ påvirkes når verdien til $C$ endres.

For hånd

Anta $C < 0$ . Beskriv hvordan grafen til $f$ påvirkes når verdien til $C$ endres.

Fasit

Nei, grafen har ingen topp- eller bunnpunkt for noen verdi av $C$ .

Grafen har et vendepunkt når $C > 0$ . Vendepunktet er ved $x = \ln C$ .

$f (x + \ln C) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ (vist nedenfor). Grafen til $f$ forskyves horisontalt: for $C > 1$ flyttes grafen til venstre, for $0 < C < 1$ flyttes den til høyre.

Når $C < 0$ er $e^{x} + C = 0$ for $x = \ln (- C)$ , og $f$ er ikke definert i dette punktet. Grafen har et bruddpunkt, og asymptotene er $y = 0$ og $y = 1$ for henholdsvis $x \to - \infty$ og $x \to + \infty$ på hver sin side av bruddet. Verdimengden er $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$ , og grafen er fallende på begge intervaller.

LøsningsforslagKI-generert

Vi har

f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + C}

a) Topp- og bunnpunkt

Vi deriverer $f$ med kvotientregelen:

f^{'} (x) = \frac{e^{x} (e^{x} + C) - e^{x} \cdot e^{x}}{{(e^{x} + C)}^{2}} = \frac{e^{x} \cdot C}{{(e^{x} + C)}^{2}}

For et topp- eller bunnpunkt kreves $f^{'} (x) = 0$ , altså

\frac{C \cdot e^{x}}{{(e^{x} + C)}^{2}} = 0

Telleren er $C \cdot e^{x}$ . Siden $e^{x} > 0$ for alle $x$ , er den eneste muligheten $C = 0$ . Men da er $f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x}} = 1$ (konstant), noe som ikke gir et topp- eller bunnpunkt.

Grafen til $f$ har ingen topp- eller bunnpunkt for noen verdi av $C$ .

b) Vendepunkt

Vi deriverer $f^{'} (x) = \frac{C \cdot e^{x}}{{(e^{x} + C)}^{2}}$ igjen. Med kvotientregelen:

f^{''} (x) = \frac{C e^{x} {(e^{x} + C)}^{2} - C e^{x} \cdot 2 (e^{x} + C) \cdot e^{x}}{{(e^{x} + C)}^{4}}

= \frac{C e^{x} [(e^{x} + C) - 2 e^{x}]}{(e^{x} + C)^{3}} = \frac{C e^{x} (C - e^{x})}{(e^{x} + C)^{3}}

For vendepunkt kreves $f^{''} (x) = 0$ :

C e^{x} (C - e^{x}) = 0

$e^{x} > 0$ alltid, så enten $C = 0$ (gir konstant funksjon) eller $C = e^{x}$ , dvs. $x = \ln C$ .

$\ln C$ er bare definert når $C > 0$ . Vi sjekker at $f^{''}$ skifter fortegn i $x = \ln C$ :

For $x < \ln C$ : $e^{x} < C$ , så $(C - e^{x}) > 0 \Rightarrow f^{''} (x) > 0$ (om $C > 0$ )
For $x > \ln C$ : $e^{x} > C$ , så $(C - e^{x}) < 0 \Rightarrow f^{''} (x) < 0$ (om $C > 0$ )

Fortegnskifte bekrefter vendepunkt.

Grafen til $f$ har et vendepunkt når $C > 0$ , og vendepunktet er ved $x = \ln C$ .

c) $C > 0$ : Vis at $f (x + \ln C) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$

Vi setter inn $x + \ln C$ i $f$ :

f (x + \ln C) = \frac{e^{x + \ln C}}{e^{x + \ln C} + C} = \frac{e^{x} \cdot e^{\ln C}}{e^{x} \cdot e^{\ln C} + C} = \frac{e^{x} \cdot C}{e^{x} \cdot C + C}

= \frac{C e^{x}}{C (e^{x} + 1)} = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}

Dette er funksjonen $f$ med $C = 1$ . Å erstatte $x$ med $x + \ln C$ tilsvarer en horisontal forskyvning av grafen med $- \ln C$ :

$C > 1$ : $\ln C > 0$ , grafen forskyves $\ln C$ enheter til venstre
$0 < C < 1$ : $\ln C < 0$ , grafen forskyves $| \ln C |$ enheter til høyre
$C = 1$ : $\ln C = 0$ , ingen forskyvning

Funksjonen $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ er en sigmoid-funksjon som øker fra $0$ til $1$ , med vendepunkt i $(0, \frac{1}{2})$ .

d) $C < 0$ : Grafens oppførsel

Når $C < 0$ er uttrykket $e^{x} + C = 0$ for $x = \ln (- C)$ (siden $- C > 0$ ). Funksjonen $f$ er udefinert i dette punktet, og vi får et bruddpunkt.

Vi undersøker grenseverdier rundt bruddet:

$x \to \ln {(- C)}^{-}$ : $e^{x} + C \to 0^{-}$ (fra venstre), telleren $e^{x} > 0$ , så $f (x) \to - \infty$
$x \to \ln {(- C)}^{+}$ : $e^{x} + C \to 0^{+}$ , så $f (x) \to + \infty$

Og ytterverdiene:

$x \to - \infty$ : $e^{x} \to 0$ , $f (x) \to 0 / (0 + C) = 0$
$x \to + \infty$ : $e^{x} ≫ | C |$ , $f (x) \to e^{x} / e^{x} = 1$

Verdimengden er $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$ , med horisontale asymptotter $y = 0$ og $y = 1$ .

Siden $f^{'} (x) = \frac{C e^{x}}{{(e^{x} + C)}^{2}}$ og $C < 0$ , er $f^{'} (x) < 0$ overalt der $f$ er definert. Grafen er fallende på begge intervaller $(- \infty, \ln (- C))$ og $(\ln (- C), + \infty)$ .

Når $C$ endres (fortsatt $< 0$ ), forskyves bruddet: større $| C |$ gir bruddpunkt lenger til høyre ( $\ln (- C)$ øker med $| C |$ ).

Oppgavedata

Hentet fra: S1 E2021, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Eksponentialfunksjon, Derivasjon, Funksjoner, Graf

Topp- og bunnpunkt for eksponentialfunksjon med konstant

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Topp- og bunnpunkt for eksponentialfunksjon med konstant

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Topp- og bunnpunkt for eksponentialfunksjon med konstant

Topp- og bunnpunkt for eksponentialfunksjon med konstant

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer