Vi har

$$f(x) = \frac{e^x}{e^x + C}$$

a) Topp- og bunnpunkt

Vi deriverer $f$ med kvotientregelen:

$$f'(x) = \frac{e^x(e^x + C) - e^x \cdot e^x}{(e^x + C)^2} = \frac{e^x \cdot C}{(e^x + C)^2}$$

For et topp- eller bunnpunkt kreves $f'(x) = 0$, altså

$$\frac{C \cdot e^x}{(e^x + C)^2} = 0$$

Telleren er $C \cdot e^x$. Siden $e^x > 0$ for alle $x$, er den eneste muligheten $C = 0$. Men da er $f(x) = \frac{e^x}{e^x} = 1$ (konstant), noe som ikke gir et topp- eller bunnpunkt.

Grafen til $f$ har ingen topp- eller bunnpunkt for noen verdi av $C$.

b) Vendepunkt

Vi deriverer $f'(x) = \dfrac{C \cdot e^x}{(e^x + C)^2}$ igjen. Med kvotientregelen:

$$f''(x) = \frac{C e^x (e^x + C)^2 - C e^x \cdot 2(e^x+C) \cdot e^x}{(e^x+C)^4}$$ $$= \frac{C e^x \bigl[(e^x + C) - 2e^x\bigr]}{(e^x+C)^3} = \frac{C e^x (C - e^x)}{(e^x + C)^3}$$

For vendepunkt kreves $f''(x) = 0$:

$$C e^x (C - e^x) = 0$$

$e^x > 0$ alltid, så enten $C = 0$ (gir konstant funksjon) eller $C = e^x$, dvs. $x = \ln C$.

$\ln C$ er bare definert når $C > 0$. Vi sjekker at $f''$ skifter fortegn i $x = \ln C$:

• For $x < \ln C$: $e^x < C$, så $(C - e^x) > 0 \Rightarrow f''(x) > 0$ (om $C > 0$)
• For $x > \ln C$: $e^x > C$, så $(C - e^x) < 0 \Rightarrow f''(x) < 0$ (om $C > 0$)

Fortegnskifte bekrefter vendepunkt.

Grafen til $f$ har et vendepunkt når $C > 0$, og vendepunktet er ved $x = \ln C$.

c) $C > 0$: Vis at $f(x + \ln C) = \dfrac{e^x}{e^x + 1}$

Vi setter inn $x + \ln C$ i $f$:

$$f(x + \ln C) = \frac{e^{x + \ln C}}{e^{x + \ln C} + C} = \frac{e^x \cdot e^{\ln C}}{e^x \cdot e^{\ln C} + C} = \frac{e^x \cdot C}{e^x \cdot C + C}$$ $$= \frac{C e^x}{C(e^x + 1)} = \frac{e^x}{e^x + 1}$$

Dette er funksjonen $f$ med $C = 1$. Å erstatte $x$ med $x + \ln C$ tilsvarer en horisontal forskyvning av grafen med $-\ln C$:

• $C > 1$: $\ln C > 0$, grafen forskyves $\ln C$ enheter til venstre
• $0 < C < 1$: $\ln C < 0$, grafen forskyves $|\ln C|$ enheter til høyre
• $C = 1$: $\ln C = 0$, ingen forskyvning

Funksjonen $\dfrac{e^x}{e^x + 1}$ er en sigmoid-funksjon som øker fra $0$ til $1$, med vendepunkt i $(0,\, \tfrac{1}{2})$.

d) $C < 0$: Grafens oppførsel

Når $C < 0$ er uttrykket $e^x + C = 0$ for $x = \ln(-C)$ (siden $-C > 0$). Funksjonen $f$ er udefinert i dette punktet, og vi får et bruddpunkt.

Vi undersøker grenseverdier rundt bruddet:

• $x \to \ln(-C)^-$: $e^x + C \to 0^-$ (fra venstre), telleren $e^x > 0$, så $f(x) \to -\infty$
• $x \to \ln(-C)^+$: $e^x + C \to 0^+$, så $f(x) \to +\infty$

Og ytterverdiene:

• $x \to -\infty$: $e^x \to 0$, $f(x) \to 0/(0 + C) = 0$
• $x \to +\infty$: $e^x \gg |C|$, $f(x) \to e^x/e^x = 1$

Verdimengden er $(-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$, med horisontale asymptotter $y = 0$ og $y = 1$.

Siden $f'(x) = \dfrac{C e^x}{(e^x+C)^2}$ og $C < 0$, er $f'(x) < 0$ overalt der $f$ er definert. Grafen er fallende på begge intervaller $(-\infty, \ln(-C))$ og $(\ln(-C), +\infty)$.

Når $C$ endres (fortsatt $< 0$), forskyves bruddet: større $|C|$ gir bruddpunkt lenger til høyre ($\ln(-C)$ øker med $|C|$).