Theas sjokoladefigurer figurtall og generell formel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sjokoladefigurene F2, F3 og F4

Thea lager figurer av små sjokolader. Figurene ovenfor har hun kalt $F_2$ , $F_3$ og $F_4$ .

Hvor mange små sjokolader vil det være i figuren $F_5$ ?

Thea vil sette opp en modell som viser hvor mange små sjokolader hun trenger for å lage enda større figurer. Hun får en god idé og lager figuren $F_4$ på nytt.

F4 med fargekoding for å vise strukturen

Hun regner nå ut at antall små sjokolader i figuren $F_4$ er $3 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 4 = 37$ .

Vis hvordan Thea kan bestemme antall små sjokolader i $F_3$ og $F_5$ ved å regne på samme måte.

Hvor mange små sjokolader trenger hun for å lage figuren $F_{10}$ ? Sett opp en modell som Thea kan bruke for å bestemme antall små sjokolader i figuren $F_n$ uttrykt ved $n$ .

Hva er den største figuren $F_n$ Thea kan lage dersom hun har 5000 små sjokolader?

Fasit

$\underline{\underline{F_5 = 61}}$

$F_3 = 2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3 = 19$ , $F_5 = 4 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 5 = 61$

$\underline{\underline{F_{10} = 271}}$ , modell: $F_n = 3n^2 - 3n + 1$

$\underline{\underline{n = 41}}$ ( $F_{41} = 4921 \leq 5000$ , $F_{42} = 5083 > 5000$ )

LøsningsforslagKI-generert

Oppgaven forteller at $F_4 = 3 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 4 = 37$ .

Vi ser at mønsteret er bygd opp slik: for figur $F_n$ er det tre rektangulære blokker der den ene er $(n-1) \times (n-1)$ , den andre er $(n-1) \times n$ , og den tredje er $n \times n$ .

For $F_5$ setter vi $n = 5$ :

F_5 = 4 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 5 = 16 + 20 + 25 = 61

$F_5$ inneholder $\underline{\underline{61}}$ sjokolader.

Det fargekodede bildet viser at $F_4$ er delt i tre blokker (svart, gul og rød). Vi bruker samme inndeling.

For $F_3$ ( $n = 3$ ):

F_3 = \textcolor{steelblue}{2 \cdot 2} + \textcolor{seagreen}{2 \cdot 3} + \textcolor{tomato}{3 \cdot 3} = \textcolor{steelblue}{4} + \textcolor{seagreen}{6} + \textcolor{tomato}{9} = 19

For $F_5$ ( $n = 5$ ):

F_5 = \textcolor{steelblue}{4 \cdot 4} + \textcolor{seagreen}{4 \cdot 5} + \textcolor{tomato}{5 \cdot 5} = \textcolor{steelblue}{16} + \textcolor{seagreen}{20} + \textcolor{tomato}{25} = 61

Vi bruker samme mønster for $F_{10}$ ( $n = 10$ ):

F_{10} = 9 \cdot 9 + 9 \cdot 10 + 10 \cdot 10 = 81 + 90 + 100 = 271

$F_{10}$ inneholder $\underline{\underline{271}}$ sjokolader.

For å lage en generell modell skriver vi ut uttrykket for $F_n$ :

F_n = (n-1)^2 + (n-1) \cdot n + n^2

Vi ganger ut og forenkler:

F_n = n^2 - 2n + 1 + n^2 - n + n^2 = 3n^2 - 3n + 1

Modell: $\underline{\underline{F_n = 3n^2 - 3n + 1}}$

Vi kan sjekke:

$n$	$3n^2 - 3n + 1$	Stemmer?
2	$12 - 6 + 1 = 7$	Ja ( $F_2 = 7$ )
3	$27 - 9 + 1 = 19$	Ja
4	$48 - 12 + 1 = 37$	Ja
5	$75 - 15 + 1 = 61$	Ja

Vi skal finne det største $n$ slik at $F_n \leq 5000$ .

Vi løser ulikheten $3n^2 - 3n + 1 \leq 5000$ , det vil si $3n^2 - 3n - 4999 \leq 0$ .

Vi prøver noen verdier:

F_{41} = 3 \cdot 41^2 - 3 \cdot 41 + 1 = 3 \cdot 1681 - 123 + 1 = 5043 - 123 + 1 = 4921

F_{42} = 3 \cdot 42^2 - 3 \cdot 42 + 1 = 3 \cdot 1764 - 126 + 1 = 5292 - 126 + 1 = 5167

Siden $F_{41} = 4921 \leq 5000$ og $F_{42} = 5167 > 5000$ , er det største mulige figurnummeret $n = 41$ .

Den største figuren Thea kan lage med 5000 sjokolader er $\underline{\underline{F_{41}}}$ , som bruker $4921$ sjokolader.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Figurtall, Rekker, Algebra

Theas sjokoladefigurer figurtall og generell formel

Sync på tvers av enheter

Theas sjokoladefigurer figurtall og generell formel

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave