2P Vår 2014

Tønnen starter med $500\mathrm{L}$. Hvert år er $98\%$ igjen, det vil si vi ganger med vekstfaktoren $\mathrm{0,98}$ for hvert år.

Etter 12 år er det igjen:

Svaret er $\underline{\underline{500\cdot {\mathrm{0,98}}^{12}}}$ liter.

Etter 20 år er det igjen $500\cdot {\mathrm{0,98}}^{20}\mathrm{L}$ i tønnen.

Det som har fordampet, er differansen mellom det opprinnelige innholdet og det som er igjen:

Svaret er $\underline{\underline{500-500\cdot {\mathrm{0,98}}^{20}}}$ liter.

John regner som om det fordamper $2\%$ av de opprinnelige $500\mathrm{L}$ hvert år, altså $10\mathrm{L}$ per år. Det stemmer ikke.

Det som faktisk skjer, er at hvert år fordamper $2\%$ av det som er igjen i tønnen akkurat det året. Det første året fordamper $2\%$ av $500\mathrm{L}=10\mathrm{L}$. Det andre året er det bare $490\mathrm{L}$ igjen, og da fordamper $2\%$ av $490\mathrm{L}=\mathrm{9,8}\mathrm{L}$. Slik fortsetter det – for hvert år er mengden som fordamper, litt mindre enn året før.

Etter 25 år er det derfor mer enn $250\mathrm{L}$ igjen i tønnen. John tar feil fordi han bruker lineær (additiv) beregning i stedet for geometrisk (multiplikativ) nedgang.

John tar feil. Hvert år fordamper 2 % av det som er igjen – ikke 2 % av de opprinnelige 500 L. Totalt fordampet etter 25 år er derfor mindre enn 50 %.

Vi leser av verdiene fra bildet:

• MIN: $116\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{i}$ tilsvarer $8\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{r}$, altså punktet $(116,8)$
• MAX: $145\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{i}$ tilsvarer $10\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{r}$, altså punktet $(145,10)$

Vi kan sjekke at forholdet mellom bar og psi er det samme for begge punktene:

Forholdet er likt, så linjen går gjennom origo. Vi tegner et koordinatsystem med psi langs $x$-aksen og bar langs $y$-aksen, markerer punktene $(116,8)$ og $(145,10)$, og tegner en rett linje gjennom punktene (og origo).

Vi bruker at $8\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{r}=116\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{i}$, som gir omregningsfaktoren:

For $35\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{i}$:

For $65\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{i}$:

Lasse bør ha et lufttrykk på mellom $\underline{\underline{\mathrm{2,4}\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{r}}}$ og $\underline{\underline{\mathrm{4,5}\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{r}}}$ i dekkene på terrengsykkelen.

(Samme svar kan leses av fra grafen tegnet i oppgave a.)

Vi lager et gruppert søylediagram der hvert fremmedspråk har to søyler side om side — én for gutter og én for jenter.

Diagrammet viser at spansk er det mest valgte fremmedspråket, mens tysk og spansk er omtrent like populære. Jenter velger spansk og fransk i noe større grad enn gutter, mens gutter velger tysk noe mer enn jenter.

Vi lager et kurvediagram (linjediagram) med én kurve per fremmedspråk og skoleår på x-aksen.

Diagrammet viser tydelig at spansk vokste kraftig fra $\mathrm{2,0}\%$ i 2002/03 til over $34\%$ i 2012/13, mens tysk og fransk har hatt en nedgang i samme periode.

Av tabell 1 vet vi at det var $10385+11619=22004$ elever som valgte spansk skoleåret 2012/2013.

Av tabell 2 vet vi at spansk-andelen dette skoleåret var $\mathrm{34,9}\%$.

Vi bruker at

og løser for totalt antall:

Det var omtrent $\underline{\underline{63000}}$ elever på 8. trinn skoleåret 2012/2013.

Vi lar $x$ være antall år etter 2002 og setter tallparene inn i grafteikneren:

Vi utfører lineær regresjon på punktene og finner modellen

Se skjermbildet under, der $\text{punktene}$ og $\text{regresjonslinja}$ $f$ er tegnet inn.

År 2016 tilsvarer $x=2016-2002=14$. Vi setter $x=14$ inn i modellen:

Ifølge modellen vil gjennomsnittsprisen per kvadratmeter i 2016 være omtrent $\underline{\underline{41900\mathrm{k}\mathrm{r}/{\mathrm{m}}^2}}$.

En enebolig på $200{\mathrm{m}}^2$ passerer 10 millioner kroner når kvadratmeterprisen passerer

Vi finner skjæringspunktet mellom $f$ og linja $y=50000$ (punktet Skjaering i skjermbildet ovenfor):

Siden $x$ er antall år etter 2002, tilsvarer dette

Det vil si at grensa passeres etter at 17,7 år har gått fra starten av 2002 ($x=17$ svarer til 2019, $x=18$ til 2020), altså i løpet av 2019, dersom prisutviklingen fortsetter som i modellen.

Eiendomsmegleren antar at prisen øker med totalt $20\%$ i løpet av perioden 2012–2015, det vil si over 3 år. Det gir en total vekstfaktor på $\mathrm{1,20}$. Hvis $r$ er den årlige vekstfaktoren, må

Dette tilsvarer en årlig vekst på omtrent

per år.

I modellen $A(x)=5000\cdot {\mathrm{1,04}}^x$ er $5000$ startverdien, altså antall innbyggere i dag ($x=0$), som stemmer med opplysningen om at Alvfjord i dag har 5000 innbyggere.

Tallet $\mathrm{1,04}$ er vekstfaktoren. En årlig vekst på $4\%$ gir vekstfaktoren

Siden innbyggertallet multipliseres med $\mathrm{1,04}$ for hvert år som går, er $A(x)=5000\cdot {\mathrm{1,04}}^x$ en riktig modell for antall innbyggere i Alvfjord om $x$ år, forutsatt at veksten på $4\%$ per år holder seg konstant.

Vi tegner grafen til $A$ for $0\le x\le 30$ i grafteikneren, sammen med den lineære modellen $B$ for Brimsjø fra oppgave d):

Grafen til $A$ (blå kurve) er ei stigende, krum kurve som vokser stadig raskere — typisk for eksponentiell vekst.

Vi setter $x=10$ inn i modellen:

Ifølge modellen vil det være omtrent $\underline{\underline{7401\text{ innbyggere}}}$ i Alvfjord om 10 år.

For å finne når innbyggertallet passerer 10 000, leser vi av grafen der $A$ skjærer den vannrette linja $y=10000$ (punktet SkjaeringGrense i skjermbildet ovenfor). Skjæringen er ved $x\approx \mathrm{17,7}$.

Siden $x$ er antall år etter i dag (2014), tilsvarer dette $2014+\mathrm{17,7}\approx \mathrm{2031,7}$. Innbyggertallet i Alvfjord passerer altså 10 000 i løpet av 2032, ifølge modellen.

Brimsjø har i dag 8400 innbyggere og øker med 200 innbyggere per år, så innbyggertallet i Brimsjø om $x$ år kan modelleres med

Vi leser av skjæringspunktet mellom $A$ og $B$ i skjermbildet ovenfor (punktet SkjaeringAB). Grafene skjærer hverandre ved

Siden $x$ er antall år etter i dag (2014), tilsvarer dette $2014+\mathrm{25,2}\approx \mathrm{2039,2}$. Det vil altså være omtrent like mange innbyggere i Alvfjord og Brimsjø (ca. 13 444 innbyggere hvert sted) i løpet av 2039, ifølge modellene.

Vi ser på skissen at muren på 20 m dekker deler av den ene langsiden (lengde $y$). Gjerdets totale lengde er da:

Vi løser for $y$:

Arealet av rektangelet er $A=x\cdot y$, så vi setter inn:

Modellen er $\underline{\underline{A(x)=70x-x^2}}$.

Vi bruker GeoGebra til å tegne $A(x)=70x-x^2$ og finne toppunktet.

Fra grafen leser vi av at toppunktet er i $(35,1225)$.

Det betyr at arealet er størst når $x=35\mathrm{m}$.

Vi finner $y$:

Vi sjekker at $y>20$: $35>20$ ✓

Største areal:

Arealet av gjerdet område blir størst mulig når $x=\underline{\underline{35\mathrm{m}}}$. Det største arealet er $\underline{\underline{1225{\mathrm{m}}^2}}$.

Dette betyr at Ola bør gjerde inn et område som er 35 m bredt og 35 m langt, og da får han et område på 1225 kvadratmeter.

Vi finner gjennomsnittet ved å summere alle målene og dele på antall kamper.

Izabela Duda skåret i gjennomsnitt $\underline{\underline{\mathrm{8,0}\text{ mål per kamp}}}$.

Vi sammenligner de to spillerne:

Izabela har et gjennomsnitt på $\mathrm{8,0}$ mål per kamp, mens den andre spilleren har $\mathrm{5,0}$. Izabela skårer klart flere mål i gjennomsnitt.

Den andre spillerens standardavvik er $\mathrm{2,5}$, som betyr at hun typisk scorer mellom $\mathrm{2,5}$ og $\mathrm{7,5}$ mål per kamp. Izabelas prestasjoner varierer mer — hun har alt fra 1 til 17 mål i en kamp — noe som tyder på et høyere standardavvik for henne.

Samlet sett er Izabela den klart mest produktive scoreren, men prestasjonene hennes varierer mer fra kamp til kamp.

Fra den kumulative frekvenstabellen kan vi lese av:

Antall kamper med nøyaktig 3 straffemål:

Hun skåret 3 straffemål i $\underline{\underline{4\text{ kamper}}}$.

For å finne totalt antall straffemål multipliserer vi antall straffemål med antall kamper og summerer:

Izabela skåret totalt $\underline{\underline{28\text{ mål på straffekast}}}$ i løpet av de 22 kampene.

Oppgaven forteller at $F_4=3\cdot 3+3\cdot 4+4\cdot 4=37$.

Vi ser at mønsteret er bygd opp slik: for figur $F_n$ er det tre rektangulære blokker der den ene er $(n-1)\times (n-1)$, den andre er $(n-1)\times n$, og den tredje er $n\times n$.

For $F_5$ setter vi $n=5$:

$F_5$ inneholder $\underline{\underline{61}}$ sjokolader.

Det fargekodede bildet viser at $F_4$ er delt i tre blokker (svart, gul og rød). Vi bruker samme inndeling.

For $F_3$ ($n=3$):

For $F_5$ ($n=5$):

Vi bruker samme mønster for $F_{10}$ ($n=10$):

$F_{10}$ inneholder $\underline{\underline{271}}$ sjokolader.

For å lage en generell modell skriver vi ut uttrykket for $F_n$:

Vi ganger ut og forenkler:

Modell: $\underline{\underline{F_n=3n^2-3n+1}}$

Vi kan sjekke:

Vi skal finne det største $n$ slik at $F_n\le 5000$.

Vi løser ulikheten $3n^2-3n+1\le 5000$, det vil si $3n^2-3n-4999\le 0$.

Vi prøver noen verdier:

Siden $F_{41}=4921\le 5000$ og $F_{42}=5167>5000$, er det største mulige figurnummeret $n=41$.

Den største figuren Thea kan lage med 5000 sjokolader er $\underline{\underline{F_{41}}}$, som bruker $4921$ sjokolader.