Tangent til parabel og lagerhall

Snitt av lagerhall

En arkitekt har tegnet et snitt av en lagerhall. Lagerhallen er 20 meter høy og har form som en parabel gitt ved

p (x) = - \frac{1}{12} x^{2} + 20

På taket av lagerhallen skal det plasseres et webkamera. Webkameraet skal festes på en stang som er 3 meter lang.

Den rette linjen på figuren går gjennom punktet $(0, 23)$ og er en tangent til grafen.

For hånd

Bestem likningen for tangenten.

Kalkulator

Hvor langt fra veggen på lagerhallen kan en tyv bevege seg uten å bli fotografert av webkameraet?

Fasit

$y = - x + 23$

$21 - 4 \sqrt{15} \approx 5,5 m$

LøsningsforslagKI-generert

$p^{'} (x) = - x / 6$ . La tangentpunktet være $(c, p (c))$ og tangenten gå gjennom $(0, 23)$ :

23 - p (c) = - p^{'} (c) \cdot c = \frac{c^{2}}{6}

3 + \frac{c^{2}}{12} = \frac{c^{2}}{6} ⟹ 3 = \frac{c^{2}}{12} ⟹ c = \pm 6

For $c = 6$ : $m = - 1$ , tangent: $y = - (x - 6) + 17 = - x + 23$

Veggen er der $p (x) = 0$ : $x = 4 \sqrt{15} \approx 15,5 m$ fra senter.

Kameraet i $(0, 23)$ ser langs tangenten. En tyv på $2 m$ er skjult når linjen fra kameraet til hodet $(x_{t}, 2)$ tangerer bygget i $x = 6$ :

23 - \frac{126}{x_{t}} = 17 ⟹ x_{t} = 21 m

Avstand fra vegg: $21 - 4 \sqrt{15} \approx 5,5 m$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

Riktig likning uten begrunnelse gir ingen utteling. En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng. En kandidat som prøver seg fram, må verifisere svaret for å få full uttelling.

En kandidat som ikke tar hensyn til tyvens høyde, kan også få full utteling.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2025, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Modellering, Geometri
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige

Tangent til parabel og lagerhall

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tangent til parabel og lagerhall

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tangent til parabel og lagerhall

Tangent til parabel og lagerhall

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer