Tangent til kvartsirkel og minste trekantareal OAB

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Kvartsirkel med tangent i P som skjærer koordinataksene i A og B

Figuren ovenfor viser en kvartsirkel med radius 3 og sentrum i origo. En tangent i punktet $P$ skjærer koordinataksene i $A$ og $B$ .

Kvartsirkelen er grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = \sqrt{9 - x^2}, \qquad x \in \langle 0,\, 3 \rangle

Punktet $P$ har førstekoordinat $a$ . Det kan vises at likningen for tangenten er

y = \frac{-a}{\sqrt{9 - a^2}} \cdot x + \frac{9}{\sqrt{9 - a^2}}

Bestem koordinatene til punktene $A$ og $B$ uttrykt ved $a$ .

Vis at arealet $F$ av trekanten $OAB$ er

F(a) = \frac{81}{2} \cdot \frac{1}{a\sqrt{9 - a^2}}

Tegn en skisse av grafen til $F$ . Bruk skissen til å finne det minste arealet av $\triangle OAB$ med tilhørende verdi av $a$ .

Bestem $F'(a)$ og bruk denne til å finne den eksakte verdien for $a$ som gjør at arealet av trekanten blir minst mulig.

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter