Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ II

I denne oppgaven kan det være naturlig å bruke dynamisk programvare, men oppgaven kan også løses ved å bruke grafisk lommeregner. I løsningen av oppgaven vil det være aktuelt å skissere flere grafer.

a)

Tegn grafen til funksjonen $f(x) = \dfrac{1}{x}$, $x > 0$.

Tangenten til grafen i punktet $(a, f(a))$ skjærer $x$-aksen i punktet $A$ og $y$-aksen i punktet $B$. Punktet $O$ er origo.

b)

Bestem arealet av $\triangle OAB$ for $a = 2$ enten grafisk eller ved regning.

c)

Gjenta det du gjorde i b) for $a = \dfrac{1}{2}$ og $a = 3$. Kommenter svarene.

Vi skal nå studere størrelsen av arealet av $\triangle OAB$ analytisk.

d)

Bestem $f'(x)$. Finn likningen for tangenten til funksjonen $f$ i punktet $(a, f(a))$.

e)

Bestem koordinatene til skjæringspunktene $A$ og $B$ mellom tangenten og koordinataksene. Hva blir arealet av $\triangle OAB$?