Tangent til 1 delt på x og arealet av OAB

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Grafen til f(x)=1/x og tangenten i (s,f(s))

Skissen ovenfor viser grafen til funksjonen $f$ gitt ved $f (x) = \frac{1}{x}$ og tangenten til grafen i punktet $(s, f (s))$ .

For hånd

Vis at likningen for tangenten er

y = - \frac{1}{s^{2}} \cdot x + \frac{2}{s}

Tangenten skjærer koordinataksene i punktene $A$ og $B$ .

For hånd

Bestem koordinatene til $A$ og $B$ uttrykt ved $s$ .

For hånd

Bestem arealet av $△ = O A B$ .

Fasit

Se løsningsforslag.

$A = (2 s, 0)$ , $B = (0, \frac{2}{s})$

$Areal = 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal vise at tangenten til $f (x) = \frac{1}{x}$ i punktet $(s, f (s))$ har likningen

y = - \frac{1}{s^{2}} \cdot x + \frac{2}{s}

Vi deriverer $f$ :

f^{'} (x) = - \frac{1}{x^{2}}

I punktet $x = s$ er stigningstallet til tangenten

f^{'} (s) = - \frac{1}{s^{2}}

Vi setter opp tangentlikningen med punktet $(s, f (s)) = (s, \frac{1}{s})$ :

y - \frac{1}{s} = - \frac{1}{s^{2}} (x - s)

y = - \frac{1}{s^{2}} \cdot x + \frac{s}{s^{2}} + \frac{1}{s} = - \frac{1}{s^{2}} \cdot x + \frac{1}{s} + \frac{1}{s}

y = - \frac{1}{s^{2}} \cdot x + \frac{2}{s}

Dette er det vi skulle vise. CAS bekrefter (se utklipp):

CAS-utregning: tangent, nullpunkt og y-skjæring

Punkt A er der tangenten skjærer $x$ -aksen, dvs. $y = 0$ :

0 = - \frac{1}{s^{2}} \cdot x + \frac{2}{s}

\frac{1}{s^{2}} \cdot x = \frac{2}{s} ⟹ x = \frac{2}{s} \cdot s^{2} = 2 s

A = (2 s, 0)

Punkt B er der tangenten skjærer $y$ -aksen, dvs. $x = 0$ :

y = - \frac{1}{s^{2}} \cdot 0 + \frac{2}{s} = \frac{2}{s}

B = (0, \frac{2}{s})

Trekant $O A B$ har $O = (0, 0)$ som hjørne. Grunnlinjen langs $x$ -aksen fra $O$ til $A$ har lengde $| O A | = 2 s$ , og høyden er $y$ -koordinaten til $B$ , som er $\frac{2}{s}$ .

Areal av △ O A B = \frac{1}{2} \cdot \underset{grunnlinje}{\underset{⏟}{2 s}} \cdot \underset{høyde}{\underset{⏟}{\frac{2}{s}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 s}{s} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2

Arealet er $𝟐$ uavhengig av $s$ — tangenten skjærer alltid av en trekant med samme areal, uansett hvilken punkt på grafen vi velger. Figuren nedenfor viser tilfellet $s = 1$ :

Grafen til f(x)=1/x og tangenten i (s, f(s)) med punktene A, B og O

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2021, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Rasjonale funksjoner, Tangent, Areal og omkrets
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Tangent til 1 delt på x og arealet av OAB

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tangent til 1 delt på x og arealet av OAB

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tangent til 1 delt på x og arealet av OAB

Tangent til 1 delt på x og arealet av OAB

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer