Tangent til 1 delt på x og arealet av OAB

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Grafen til f(x)=1/x og tangenten i (s,f(s))

Skissen ovenfor viser grafen til funksjonen $f$ gitt ved $f(x)=\dfrac{1}{x}$ og tangenten til grafen i punktet $(s,f(s))$ .

Vis at likningen for tangenten er

y=-\dfrac{1}{s^2}\cdot x+\dfrac{2}{s}

Tangenten skjærer koordinataksene i punktene $A$ og $B$ .

Bestem koordinatene til $A$ og $B$ uttrykt ved $s$ .

Bestem arealet av $\triangle=OAB$ .

Fasit

Se løsningsforslag.

$A = (2s,\, 0)$ , $B = \left(0,\, \dfrac{2}{s}\right)$

$\underline{\underline{\text{Areal} = 2}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal vise at tangenten til $f(x) = \dfrac{1}{x}$ i punktet $(s, f(s))$ har likningen

y = -\dfrac{1}{s^2} \cdot x + \dfrac{2}{s}

Vi deriverer $f$ :

f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}

I punktet $x = s$ er stigningstallet til tangenten

f'(s) = -\dfrac{1}{s^2}

Vi setter opp tangentlikningen med punktet $(s,\, f(s)) = \left(s,\, \dfrac{1}{s}\right)$ :

y - \dfrac{1}{s} = -\dfrac{1}{s^2}(x - s)

y = -\dfrac{1}{s^2} \cdot x + \dfrac{s}{s^2} + \dfrac{1}{s} = -\dfrac{1}{s^2} \cdot x + \dfrac{1}{s} + \dfrac{1}{s}

\underline{\underline{y = -\dfrac{1}{s^2} \cdot x + \dfrac{2}{s}}}

Dette er det vi skulle vise. CAS bekrefter (se utklipp):

CAS-utregning: tangent, nullpunkt og y-skjæring

Punkt A er der tangenten skjærer $x$ -aksen, dvs. $y = 0$ :

0 = -\dfrac{1}{s^2} \cdot x + \dfrac{2}{s}

\dfrac{1}{s^2} \cdot x = \dfrac{2}{s} \implies x = \dfrac{2}{s} \cdot s^2 = 2s

\underline{\underline{A = (2s,\; 0)}}

Punkt B er der tangenten skjærer $y$ -aksen, dvs. $x = 0$ :

y = -\dfrac{1}{s^2} \cdot 0 + \dfrac{2}{s} = \dfrac{2}{s}

\underline{\underline{B = \left(0,\; \dfrac{2}{s}\right)}}

Trekant $OAB$ har $O = (0, 0)$ som hjørne. Grunnlinjen langs $x$ -aksen fra $O$ til $A$ har lengde $|OA| = 2s$ , og høyden er $y$ -koordinaten til $B$ , som er $\dfrac{2}{s}$ .

\text{Areal av } \triangle OAB = \dfrac{1}{2} \cdot \underbrace{2s}_{\text{grunnlinje}} \cdot \underbrace{\dfrac{2}{s}}_{\text{høyde}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4s}{s} = \dfrac{1}{2} \cdot 4 = \underline{\underline{2}}

Arealet er $\mathbf{2}$ uavhengig av $s$ — tangenten skjærer alltid av en trekant med samme areal, uansett hvilken punkt på grafen vi velger. Figuren nedenfor viser tilfellet $s = 1$ :

Grafen til f(x)=1/x og tangenten i (s, f(s)) med punktene A, B og O

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Rasjonale funksjoner, Tangent, Areal
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Tangent til 1 delt på x og arealet av OAB

Sync på tvers av enheter

Tangent til 1 delt på x og arealet av OAB

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave