Tangent gjennom origo til e-funksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = e^{1 - x}

Grafen til $f$ har en tangent som går gjennom origo.

Bestem likningen for denne tangenten.

Fasit

$y = - e^{2} x$

LøsningsforslagKI-generert

La tangeringspunktet være $(a, f (a))$ . Vi deriverer $f (x) = e^{1 - x}$ :

f^{'} (x) = - e^{1 - x}

Stigningstallet til tangenten i $x = a$ er $f^{'} (a) = - e^{1 - a}$ , og tangentlikningen er

y = f (a) + f^{'} (a) (x - a) = e^{1 - a} - e^{1 - a} (x - a)

Tangenten skal gå gjennom origo, altså $(x, y) = (0, 0)$ . Vi setter dette inn:

0 = e^{1 - a} - e^{1 - a} (0 - a) = e^{1 - a} + a \cdot e^{1 - a} = e^{1 - a} (1 + a)

Siden $e^{1 - a} \neq 0$ for alle $a$ , må

1 + a = 0 \Rightarrow a = - 1

Vi finner tangeringspunktet og stigningstallet:

f (- 1) = e^{1 - (- 1)} = e^{2}, f^{'} (- 1) = - e^{1 - (- 1)} = - e^{2}

Tangentlikningen blir

y - e^{2} = - e^{2} (x - (- 1)) = - e^{2} x - e^{2}

y = - e^{2} x

Vi kontrollerer at linjen faktisk går gjennom origo: for $x = 0$ er $y = 0$ . Stemmer.

y = - e^{2} x

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2017, del 1, oppgave 8
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Tangent

Innstillinger