Størst mulig rektangel under kurve

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = \frac{10}{x^{2} + 3}, x > 0

Punktene $A$ , $B$ , $C$ og $D$ danner et rektangel. Punktet $A$ ligger i origo, punktet $B$ ligger på $x$ -aksen, punktet $C$ ligger på grafen til $f$ , og punktet $D$ ligger på $y$ -aksen. Se figuren nedenfor.

Rektangel under kurven

For hånd

Bestem arealet av rektangelet dersom punktet $B$ har koordinatene $(3, 0)$ .

For hånd

Hvor på $x$ -aksen må punktet $B$ ligge for at arealet av rektangelet $A B C D$ skal bli størst mulig?

Fasit

$5 / 2$

$x = \sqrt{3}$

LøsningsforslagKI-generert

f (3) = \frac{10}{9 + 3} = \frac{5}{6}, A = 3 \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{2}

Arealet er $A (x) = x \cdot f (x) = \frac{10 x}{x^{2} + 3}$ .

A^{'} (x) = \frac{30 - 10 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0 ⟹ x^{2} = 3 ⟹ x = \sqrt{3}

Siden $A^{'} (x) > 0$ for $x < \sqrt{3}$ og $A^{'} (x) < 0$ for $x > \sqrt{3}$ , er $x = \sqrt{3}$ et maksimumspunkt.

$B$ må ligge i $x = \sqrt{3}$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng. For å få full uttelling må kandidaten bestemme ekstremalpunktet grafisk eller ved regning. En «prøve og feile»-metode, for eksempel med en glider, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2025, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Funksjoner, Geometri
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Størst mulig rektangel under kurve

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Størst mulig rektangel under kurve

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Størst mulig rektangel under kurve

Størst mulig rektangel under kurve

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer