Strategi: For å speile $P$ om linjen finner vi først fotpunktet $F$ (der normalen fra $P$ treffer linjen), og beregner deretter speilpunktet som $P^{\prime }=2\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}$.

Steg 1 – Retningsvektor og et punkt på linjen

Linjen $y=2x+4$ har stigningstall $2$, så retningsvektoren er

Vi velger punktet $A(0,4)$ på linjen (setter $x=0$).

Steg 2 – Finn fotpunktet $F$ ved projeksjon

Vektoren fra $A$ til $P$ er

Fotpunktet $F$ ligger på linjen og bestemmes ved skalarprojeksjonen av $\overrightarrow{AP}$ på $\overrightarrow{d}$:

Fotpunktet er altså $F(0,4)$ – som er nettopp punktet $A$ vi valgte. Det betyr at normalen fra $P$ treffer linjen akkurat i $(0,4)$.

Sjekk: $\overrightarrow{FP}=\left(\begin{array}{c}6\\ -3\end{array}\right)$ og $\overrightarrow{d}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$. Prikkprodukt: $6\cdot 1+(-3)\cdot 2=0$ ✓ — de er ortogonale.

Steg 3 – Beregn speilpunktet $P^{\prime }$

$F$ er midtpunktet mellom $P$ og speilpunktet $P^{\prime }$, så

Speilpunktet er $\underline{\underline{P^{\prime }(-6,7)}}$.