Sparing med fast rente og ny rente etter innbetalinger

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En person setter hvert år inn 4000,00 kroner på en konto med fast årlig rente. Etter noen år står det $20 983,32$ kroner på kontoen like etter en innbetaling. Det følgende året, det vil si umiddelbart etter neste innbetaling, står det $25 486,92$ kroner på kontoen.

Kalkulator

Vis at den årlige renten er $2,4 %$ .

Kalkulator

Regn ut hvor mye som står på kontoen like etter den 12. innbetalingen dersom renten har vært uendret i hele perioden.

Etter den 12. innbetalingen settes det ikke inn mer på kontoen. Renta blir hevet, men er konstant i de neste åtte årene.

Kalkulator

Hva må renten være for at det skal stå 72 000 kroner på kontoen åtte år etter siste innbetaling?

Fasit

$r = \frac{25 486,92 - 4000}{20 983,32} = 1,024$ , altså $2,4 %$

$S_{12} \approx 54 871 kr$

$q \approx 1,0345$ , dvs. renten må være ca. $3,45 %$

LøsningsforslagKI-generert

Like etter innbetaling $n$ er saldoen $S_{n} = 20 983,32 kr$ . Det neste året vokser beløpet med vekstfaktoren $r$ , og så settes det inn $4000 kr$ til:

S_{n + 1} = S_{n} \cdot r + 4000

25 486,92 = 20 983,32 \cdot r + 4000

Vi løser for $r$ :

r = \frac{25 486,92 - 4000}{20 983,32} = \frac{21 486,92}{20 983,32} = 1,024

Vekstfaktoren $r = 1,024$ svarer til en rente på $𝟐,𝟒 %$ .

Vi bruker $r = 1,024$ og $a = 4000 kr$ per innbetaling. Rett etter 1. innbetaling er saldoen $4000 kr$ . Rett etter 2. innbetaling er den $4000 \cdot r + 4000$ . Generelt er saldoen rett etter $n$ -te innbetaling:

S_{n} = 4000 \cdot (1 + r + r^{2} + \dots + r^{n - 1}) = 4000 \cdot \frac{r^{n} - 1}{r - 1}

For $n = 12$ :

S_{12} = 4000 \cdot \frac{{1,024}^{12} - 1}{1,024 - 1}

GeoGebra CAS bekrefter beregningen:

GeoGebra CAS – sparing med geometrisk rekke

$S_{12} \approx 54 871 kr$

Etter den 12. innbetalingen er saldoen $S_{12} \approx 54 871,34 kr$ . Det settes ikke inn mer penger, men renten er nå $q$ (ny vekstfaktor). Etter 8 år skal saldoen være $72 000 kr$ :

S_{12} \cdot q^{8} = 72 000

Fra GeoGebra CAS (linje 3 i figuren over):

q^{8} = \frac{72 000}{54 871,34} ⟹ q \approx 1,0345

Den nye renten er $q - 1 \approx 0,0345$ , altså $3,45 %$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Oppgaven kan også løses med digitale verktøy. Jf. vurderingsveiledningen 2012.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2012, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Sparing, Annuitetslån, Rekker, Rente

Sparing med fast rente og ny rente etter innbetalinger

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Sparing med fast rente og ny rente etter innbetalinger

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Sparing med fast rente og ny rente etter innbetalinger

Sparing med fast rente og ny rente etter innbetalinger

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer