Sparing med fast rente og ny rente etter innbetalinger

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En person setter hvert år inn 4000,00 kroner på en konto med fast årlig rente. Etter noen år står det $20\,983{,}32$ kroner på kontoen like etter en innbetaling. Det følgende året, det vil si umiddelbart etter neste innbetaling, står det $25\,486{,}92$ kroner på kontoen.

Vis at den årlige renten er $2{,}4\,\%$ .

Regn ut hvor mye som står på kontoen like etter den 12. innbetalingen dersom renten har vært uendret i hele perioden.

Etter den 12. innbetalingen settes det ikke inn mer på kontoen. Renta blir hevet, men er konstant i de neste åtte årene.

Hva må renten være for at det skal stå 72 000 kroner på kontoen åtte år etter siste innbetaling?

Fasit

$r = \frac{25\,486{,}92 - 4000}{20\,983{,}32} = 1{,}024$ , altså $2{,}4\,\%$

$\underline{\underline{S_{12} \approx 54\,871 \, \mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{q \approx 1{,}0345}}$ , dvs. renten må være ca. $3{,}45\,\%$

LøsningsforslagKI-generert

Like etter innbetaling $n$ er saldoen $S_n = 20\,983{,}32 \, \mathrm{kr}$ . Det neste året vokser beløpet med vekstfaktoren $r$ , og så settes det inn $4000 \, \mathrm{kr}$ til:

S_{n+1} = S_n \cdot r + 4000

25\,486{,}92 = 20\,983{,}32 \cdot r + 4000

Vi løser for $r$ :

r = \frac{25\,486{,}92 - 4000}{20\,983{,}32} = \frac{21\,486{,}92}{20\,983{,}32} = 1{,}024

Vekstfaktoren $r = 1{,}024$ svarer til en rente på $\mathbf{2{,}4\,\%}$ .

Vi bruker $r = 1{,}024$ og $a = 4000 \, \mathrm{kr}$ per innbetaling. Rett etter 1. innbetaling er saldoen $4000 \, \mathrm{kr}$ . Rett etter 2. innbetaling er den $4000 \cdot r + 4000$ . Generelt er saldoen rett etter $n$ -te innbetaling:

S_n = 4000 \cdot (1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1}) = 4000 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

For $n = 12$ :

S_{12} = 4000 \cdot \frac{1{,}024^{12} - 1}{1{,}024 - 1}

GeoGebra CAS bekrefter beregningen:

GeoGebra CAS – sparing med geometrisk rekke

$S_{12} \approx \underline{\underline{54\,871 \, \mathrm{kr}}}$

Etter den 12. innbetalingen er saldoen $S_{12} \approx 54\,871{,}34 \, \mathrm{kr}$ . Det settes ikke inn mer penger, men renten er nå $q$ (ny vekstfaktor). Etter 8 år skal saldoen være $72\,000 \, \mathrm{kr}$ :

S_{12} \cdot q^8 = 72\,000

Fra GeoGebra CAS (linje 3 i figuren over):

q^8 = \frac{72\,000}{54\,871{,}34} \implies q \approx 1{,}0345

Den nye renten er $q - 1 \approx 0{,}0345$ , altså $\underline{\underline{3{,}45\,\%}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Sparing, Annuitetslån, Rekker, Rente

Sparing med fast rente og ny rente etter innbetalinger

Sync på tvers av enheter

Sparing med fast rente og ny rente etter innbetalinger

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave