Sette opp en modell for metoden

Kall punktet der spissen på stav 1 plantes ned (øvre kant av det opprinnelige avtrykket) for $X$. Stav 1, med lengde $L$, blir stående med tuppen i $X$. Stav 2 (også lengde $L$) holdes inntil stav 1, og de to stavene senkes sammen til stav 2 — som henger loddrett — akkurat berører snøen, i et punkt $Q$. La $T$ være punktet der de to stavene møtes hverandre.

Da er $|XT|=L$ (stav 1) og $|TQ|=L$ (stav 2, loddrett), så trekanten $XTQ$ er likebeint med $XT=TQ$.

Fordi $TQ$ er loddrett, og skråningen har helningsvinkel $\theta$ mot horisontalen, er vinkelen mellom linja $QX$ (langs skråningen) og linja $QT$ (loddrett) lik $90°-\theta$. Siden trekanten er likebeint med $XT=TQ$, er vinkelen i $X$ den samme som vinkelen i $Q$:

Vinkelsummen i en trekant er $180°$, så vinkelen i toppunktet $T$ blir

Feller vi normalen fra $T$ ned på $XQ$, deles den likebeinte trekanten i to like rettvinklede trekanter, hver med hypotenus $L$ og motstående vinkel $\theta$ til halve grunnlinja. Det gir at hele avstanden $s=|XQ|$ (langs skråningen, fra $X$ til der stav 2 treffer snøen) er

Kontroll mot regelen i oppgaveteksten

Det opprinnelige avtrykket av hele stav 1 har lengde $L$ (målt fra $X$). Når stav 2 treffer akkurat nederst i dette avtrykket, er $s=L$:

Dette stemmer med regelen: «Dersom staven treffer akkurat nederst i avtrykket, har terrenget en helning på $30°$.» Siden $\sin \theta$ er voksende for $\theta$ mellom $0°$ og $90°$, gir et lengre $s$ (staven treffer utenfor/nedenfor avtrykket) en brattere helning, og et kortere $s$ (staven treffer innenfor avtrykket) en slakere helning — akkurat som de to andre punktene i regelen sier.

Eksakt formel for helningsvinkelen

La $\mathrm{\Delta }s$ være hvor mange centimeter utenfor ($\mathrm{\Delta }s>0$, nedover skråningen) eller innenfor ($\mathrm{\Delta }s<0$) håndtaksavtrykket den loddrette staven treffer snøen. Da er $s=L+\mathrm{\Delta }s$, og

Dette er den eksakte helningsvinkelen. Snøskredskolens regel bruker i stedet den lineære tilnærmingen

altså $3°$ for hver $10\mathrm{cm}$ avvik fra avtrykket.

Hvor nøyaktig er regelen?

Skistaver på topptur er typisk mellom $L=100\mathrm{cm}$ og $L=140\mathrm{cm}$ lange. Vi sammenlikner regelen med den eksakte formelen for begge disse stavlengdene, for avvik $\mathrm{\Delta }s$ fra $-20\mathrm{cm}$ til $40\mathrm{cm}$ (samme område som eksempelet i oppgaveteksten dekker):

Δs	L = 100 cm			L = 140 cm
	Eksakt θ	Regel	Avvik	Eksakt θ	Regel	Avvik
−20 cm	23,6°	24°	+0,4°	25,4°	24°	−1,4°
−10 cm	26,7°	27°	+0,3°	27,7°	27°	−0,7°
0 cm	30,0°	30°	0,0°	30,0°	30°	0,0°
10 cm	33,4°	33°	−0,4°	32,4°	33°	+0,6°
20 cm	36,9°	36°	−0,9°	34,9°	36°	+1,2°
30 cm	40,5°	39°	−1,5°	37,4°	39°	+1,6°
40 cm	44,4°	42°	−2,4°	40,0°	42°	+2,0°

(«Avvik» er regelens vinkel minus den eksakte vinkelen. $\theta =\arcsin (\frac{1}{2}+\frac{\mathrm{\Delta }s}{2L})$ er regnet ut med kalkulator for hver rad, for eksempel for $L=100\mathrm{cm}$ og $\mathrm{\Delta }s=20\mathrm{cm}$: $\theta =\arcsin (\mathrm{0,5}+\mathrm{0,1})=\arcsin (\mathrm{0,6})\approx \mathrm{36,9}°$.)

Drøfting av nøyaktigheten

Tabellen viser at metoden er ganske treffsikker nær referansepunktet på $30°$ (avvik under $1°$ for $|\mathrm{\Delta }s|\le 20\mathrm{cm}$ uansett stavlengde i det aktuelle området), men blir merkbart mindre nøyaktig når avviket fra avtrykket blir stort:

• For en kort stav ($100\mathrm{cm}$) undervurderer regelen hvor bratt terrenget er når det er en god del brattere enn $30°$ (regelen viser $42°$ der terrenget egentlig heller $\mathrm{44,4}°$) — et avvik på nesten $\mathrm{2,5}°$. Det er uheldig i skredsammenheng, siden en for lav helningsvinkel kan gi et falskt inntrykk av at terrenget er tryggere enn det er.
• For en lang stav ($140\mathrm{cm}$) overvurderer regelen i stedet hvor bratt terrenget er ved store positive avvik, og undervurderer helningen når terrenget er slakere enn $30°$.

Alt i alt gir Snøskredskolens enkle regel et godt anslag (innenfor $\pm 1°$) for terreng nær $30°$-$36°$ og for staver på rundt $110$-$120\mathrm{cm}$, men den bør brukes med forsiktighet — og gjerne kombineres med et digitalt hjelpemiddel eller en mer nøyaktig måling — når terrenget er markert brattere eller slakere enn $30°$, særlig med korte eller lange staver.