I et spill kan du få poeng ved å kaste en terning med fire sider. De fire sidene har ulik farge. Den ene siden er gul, den andre grønn, den tredje rød og den fjerde blå.

• Gul side gir ingen poeng.
• Grønn side gir ett poeng.
• Blå side gir to poeng.
• Rød side gir tre poeng.

Du starter med 10 poeng, og hvert kast koster 2 poeng.

La $x$ være endringen i poeng for hvert kast, det vil si poengene fra kastet fratrukket de to poengene kastet koster.

a)

Skriv av tabellen under og fyll inn det som mangler

$x$	$\square$	$-1$	$\square$	$\square$
$P(X=x)$	$\square$	$\frac{1}{4}$	$\square$	$\square$

b)

Bestem $\text{E}(X)$. Hva forteller dette svaret?

c)

Bestem $\text{Var}(X)$.

Fasit

a)

b)

-0,5. Du taper 0,5 poeng i snitt per omgang ved å spille over lengre tid.

c)

1,25

Løsningsforslag

a)

Jeg forutsetter at sannsynligheten er lik for alle fire sidene av terningen.

Farge	Gul	Grønn	Blå	Rød
$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$
$P(X=x)$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$
$x\cdot P(X=x)$	$-\frac{2}{4}$	$-\frac{1}{4}$	$0$	$\frac{1}{4}$
${(x-\text{E}(x))}^2$	${(-\frac{3}{2})}^2$	${(-\frac{1}{2})}^2$	${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$	${\left(\frac{3}{2}\right)}^2$
${(x-\text{E}(X))}^2\cdot P(X=x)$	$\frac{9}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{9}{16}$

b)

$$\text{E}(X)=\sum x\cdot P(X=x)=-\frac{2}{4}+(-\frac{1}{4})+0+\frac{1}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$$

$\underline{\underline{\text{E}(X)=-\frac{1}{2}}}$. Det betyr at en spiller i gjennomsnitt vil tape 0,5 poeng per gang hen spiller i det lange løp.

c)

$$\text{Var}(X)=\sum {(x-\text{E}(X))}^2\cdot P(X=x)$$

Jeg har regnet ut hvert kvadratavvik i tabellen over.

$$\text{Var}(X)=\frac{9}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{9}{16}=\frac{20}{16}=\frac{5}{4}$$

Variansen $\underline{\underline{\text{Var}(X)=\frac{5}{4}}}$.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

a)1p1 poeng

Alle felter må være korrekt utfylt for å få uttelling.

b)2p2 poeng

1 poeng for å regne ut $E(x)$ og 1 poeng for å forklare hva svaret betyr.

c)2p2 poeng

Riktig strategi, men feil i utregning kan gi 1 poeng.