S2 H2025 ulike rekker del 1

Ta utgangspunkt i den aritmetiske rekken

- 3 + 0 + 3 + \dots + 69

Bestem summen av rekken.

Ta utgangspunkt i den uendelige geometriske rekken

5 + 5 \cdot (\frac{1}{2} - x) + 5 \cdot {(\frac{1}{2} - x)}^{2} + \dots

Bestem konvergensområdet til rekken.

En ball faller fra 2 meters høyde. Hver gang ballen treffer bakken, spretter den opp til en høyde som er $75 %$ av høyden den falt fra.

Hvor mange meter vil ballen bevege seg totalt?

Fasit

825

$x \in ⟨ - \frac{1}{2}, \frac{3}{2} ⟩$

14 meter

Løsningsforslag

Vi kjenner $a_{1} = - 3$ og $a_{n} = 69$ , men vi kjenner ikke $n$ . Vi bruker derfor formelen for ledd i aritmetisk følge

\begin{matrix} a_{n} & = a_{1} + (n - 1) \cdot d \\ 69 & = - 3 + (n - 1) \cdot 3 \\ \frac{69}{3} & = \frac{- 3 + (n - 1) \cdot 3}{3} \\ 23 & = - 1 + (n - 1) \\ 23 + 1 + 1 & = n \\ n & = 25 \end{matrix}

Summen av den aritmetisk rekka er dermed

s_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n = \frac{- 3 + 69}{2} \cdot 25 = \frac{66}{2} \cdot 25 = 33 \cdot 25 = 825

Konvergensområdet er de verdiene av $x$ som tilfredsstiller $- 1 < k (x) < 1$ , der $k (x) = \frac{1}{2} - x$ .

\begin{matrix} - 1 & < k (x) < 1 \\ - 1 & < \frac{1}{2} - x < 1 \\ 1 & > - \frac{1}{2} + x > - 1 \\ 1 + \frac{1}{2} & > - \frac{1}{2} + x + \frac{1}{2} > - 1 + \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} & > x > - \frac{1}{2} \end{matrix}

Konvergensområdet for rekka er $x \in ⟨ - \frac{1}{2}, \frac{3}{2} ⟩$ .

Ballen vil bevege seg på følgende måte:

$2$ m ned
$2 \cdot 0,75 = 1,5$ m opp
$2 \cdot 0,75 = 1,5$ m ned
$1,5 \cdot 0,75 = 1,125$ m opp
$1,5 \cdot 0,75 = 1,125$ m ned
Og så videre …

Ballens totale distanse kan altså modelleres ved hjelp av to geometriske rekker, $a$ for distansen nedover, og $b$ for distansen oppover. Vi har $k = 0,75$ , samt startverdiene $a_{1} = 2$ og $b_{1} = 1,5$

\begin{matrix} s_{a} & = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{2}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{2}{\frac{1}{4}} = \frac{2 \cdot 4}{\frac{1}{4} \cdot 4} = \frac{8}{1} = 8 \\ s_{b} & = \frac{b_{1}}{1 - k} = \frac{1,5}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1,5}{\frac{1}{4}} = \frac{1,5 \cdot 4}{\frac{1}{4} \cdot 4} = \frac{6}{1} = 6 \end{matrix}

Ballen vil totalt bevege seg 14 meter.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Kandidater som finner riktig antall ledd kan få 1 poeng.

Riktig oppsett, men feil i utregningen, kan gi 1 poeng.

En god strategi som ikke fører helt fram kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2025, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Rekker, Aritmetisk rekke, Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

S2 H2025 ulike rekker del 1

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

S2 H2025 ulike rekker del 1

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

S2 H2025 ulike rekker del 1

S2 H2025 ulike rekker del 1

Lov på eksamen

Temaer