Rettvinklet trekant med kvadrater og kongruens

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en rettvinklet trekant $A B C$ er $∠ A C B = 90 °$ . La $H$ være midtpunktet på $A B$ . La videre $C B F G$ og $A C D E$ være kvadrater på de to katetene. Punktet $I$ er skjæringspunktet mellom forlengelsen av linjestykket $H C$ og linjestykket $D G$ . Se figuren nedenfor.

Rettvinklet trekant ABC med kvadrater CBFG og ACDE på katetene

For hånd

Begrunn at $△ A B C ≅ △ G D C$ (kongruente trekanter).

For hånd

Begrunn at $△ A H C$ er likebeint.

For hånd

Vis at $∠ C I G = 90 °$ .

Fasit

$△ A B C ≅ △ G D C$ (SAS: $C B = C G$ , $C A = C D$ , $∠ A C B = ∠ D C G = 90 °$ )

$H A = H C$ , så $△ A H C$ er likebeint

$∠ C I G = 90 °$

LøsningsforslagKI-generert

Kvadratet $C B F G$ har alle sider like lange, så $C G = C B$ . Kvadratet $A C D E$ har alle sider like lange, så $C D = C A$ .

Vinklene rundt punktet $C$ på denne siden av trekanten summerer til $360 °$ :

∠ A C B + ∠ B C G + ∠ G C D + ∠ D C A = 360 °

Her er $∠ A C B = 90 °$ (gitt), og $∠ B C G = ∠ D C A = 90 °$ (hjørnevinkler i kvadratene). Da må

∠ G C D = 360 ° - 90 ° - 90 ° - 90 ° = 90 ° = ∠ A C B

Vi har altså

C B = C G, C A = C D, ∠ A C B = ∠ D C G

Etter SAS (side-vinkel-side) er $△ A C B ≅ △ D C G$ , det vil si samme trekanter som $△ A B C$ og $△ G D C$ i oppgaveteksten. $■$

$H$ er midtpunktet på $A B$ . La $C^{'}$ være speilingen av $C$ om $H$ , altså punktet slik at $H$ er midtpunkt også på $C C^{'}$ .

Firkanten $A C B C^{'}$ har diagonaler $A B$ og $C C^{'}$ som halverer hverandre i $H$ — dette er nettopp definisjonen på et parallellogram, så $A C B C^{'}$ er et parallellogram.

Siden $∠ A C B = 90 °$ (gitt), og et parallellogram med én rett vinkel er et rektangel, er $A C B C^{'}$ et rektangel. I et rektangel er diagonalene like lange:

A B = C C^{'}

Siden $H$ er midtpunkt på begge diagonalene, er

H A = \frac{A B}{2} og H C = \frac{C C^{'}}{2}

Siden $A B = C C^{'}$ , følger det at $H A = H C$ .

Dermed er $△ A H C$ likebeint med $H A = H C$ . $■$

(Dette er for øvrig samme resultat som Thales’ setning: midtpunktet på hypotenusen i en rettvinklet trekant er like langt fra alle tre hjørnene.)

Vi setter opp koordinater med $C$ i origo, $C B$ langs positiv $x$ -akse og $C A$ langs positiv $y$ -akse (mulig siden $∠ A C B = 90 °$ ). La $C B = a$ og $C A = b$ :

C = (0,0), B = (a, 0), A = (0, b), H = (\frac{a}{2}, \frac{b}{2})

Kvadratene ligger utenfor trekanten:

G = (0, - a), D = (- b, 0)

Linjen $H C$ forlenget forbi $C$ har retning $(- a, - b)$ , altså punktene $(- u a, - u b)$ for $u \geq 0$ . Linjen $D G$ er gitt ved $D + s (G - D)$ . Setter man disse to likningene lik hverandre, finner man skjæringspunktet $I$ med

t = \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}, I = (- a t, - b t)

For å vise $∠ C I G = 90 °$ holder det å vise at vektorene $\vec{I C}$ og $\vec{I G}$ står normalt på hverandre, altså at $\vec{I C} \cdot \vec{I G} = 0$ . Dette regnes ut i GeoGebra CAS for generelle $a$ og $b$ :

\vec{I C} \cdot \vec{I G} = {(\frac{a b}{a^{2} + b^{2}})}^{2} (a^{2} + b^{2}) - a b \cdot \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}

CAS-utregning av skalarproduktet IC·IG

GeoGebra forenkler uttrykket til $0$ for alle (positive) $a$ og $b$ . Siden skalarproduktet er null, er $\vec{I C} ⟂ \vec{I G}$ , altså

∠ C I G = 90 °

for enhver rettvinklet trekant $A B C$ med kateter $a = C B$ og $b = C A$ . $■$

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2019, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Geometri, Bevis, Konstruksjon

Rettvinklet trekant med kvadrater og kongruens

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Rettvinklet trekant med kvadrater og kongruens

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Rettvinklet trekant med kvadrater og kongruens

Rettvinklet trekant med kvadrater og kongruens

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer