Rett vinkel mellom vektorer og avstand til linje

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt punktene $A (3, 0)$ , $B (7, 3)$ og $C (0, t)$ .

Bestem $t$ slik at $∠ B A C = 90 °$

Bestem den minste avstanden fra $A$ til $B C$ for denne $t$ -verdien.

Fasit

$t = 4$

$d = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ :

\vec{A B} = B - A = (7 - 3, 3 - 0) = (4, 3)

\vec{A C} = C - A = (0 - 3, t - 0) = (- 3, t)

$∠ B A C = 90 °$ betyr at $\vec{A B} ⟂ \vec{A C}$ , altså at skalarproduktet er null:

\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 4 \cdot (- 3) + 3 \cdot t = - 12 + 3 t = 0

t = 4

Med $t = 4$ er $C (0, 4)$ . Siden $∠ B A C = 90 °$ , er trekant $A B C$ rettvinklet i $A$ . Da er $B C$ hypotenusen, og arealet av trekanten kan uttrykkes på to måter:

T = \frac{1}{2} \cdot | \vec{A B} | \cdot | \vec{A C} | = \frac{1}{2} \cdot | B C | \cdot d

der $d$ er avstanden fra $A$ til linjen $B C$ (høyden på hypotenusen). Vi finner lengdene:

| \vec{A B} | = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{25} = 5

| \vec{A C} | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5

| B C | = \sqrt{{(0 - 7)}^{2} + {(4 - 3)}^{2}} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}

Dermed blir

d = \frac{| \vec{A B} | \cdot | \vec{A C} |}{| B C |} = \frac{5 \cdot 5}{5 \sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5 \sqrt{2}}{2}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

Den minste avstanden kan finnes algebraisk eller ved arealbetraktninger. Måling på en figur kan gi noe uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2012, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Vektorer, Skalarprodukt, Geometri

Rett vinkel mellom vektorer og avstand til linje

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Rett vinkel mellom vektorer og avstand til linje

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Rett vinkel mellom vektorer og avstand til linje

Rett vinkel mellom vektorer og avstand til linje

Lov på eksamen

Temaer