Rekursiv sammenheng mellom pentagontall

Hver figur nedenfor består av kuler plassert på pentagoner. Antall kuler på hver av ytterkantene øker med én sammenlignet med antall kuler på ytterkanten i figuren før. La $P_{n}$ være antall kuler i figur $n$ .

De fem første figurtallene er 1, 6, 16, 31 og 51

Pentagontallene. — Figurkilde: By HB - Own work, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=872244

Beskriv en rekursiv sammenheng mellom $P_{n}$ og $P_{n-1}$ .

Lag et program som regner ut $P_{1000}$ ved å bruke den rekursive sammenhengen du fant i oppgave a)

Fasit

$P_{n}=P_{n-1}+(n-1)\cdot d$ , der $d=5$ .

Se løsningsforslag for programkode.

Løsningsforslag

Jeg ser at differansen mellom antall kuler i figurene øker med 5, 10, 15, 20. La oss kalle denne differansen for $d$ . Vi kan si at $P_{2}=P_{1}+5=P_{1}+d$ og $P_{3}=P_{2}+2d$ . Vi ser dermed et mønster og kan sette opp følgende sammenheng for $n\geq 2$ :

P_{n}=P_{n-1}+(n-1)\cdot d

a = 1
d = 5
n = 100

for i in range(2, n + 1):
    a = a + d * (i-1)

print(f"Det er {a} kuler i figur {n}.")

Programmet gir at $P_{100}=24\,751$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Det gis 1 poeng for rett rekursiv sammenheng og 1 poeng for god begrunnelse.

Dersom kandidaten har en riktig strategi, men gjør tellefeil eller programmeringsfeil, kan det gis 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rekursiv sammenheng, Programmering, Rekker, Figurtall
Kompetansemål: Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter
Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Rekursiv sammenheng mellom pentagontall

Sync på tvers av enheter

Rekursiv sammenheng mellom pentagontall

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave