Uttrykket $f(x)={\displaystyle \frac{2x-3}{2x+6}}$ er ikke definert når nevneren er null:

For å undersøke likningen $f(x)=1$ ganger vi begge sider med $(2x+6)$ (tillatt siden $x\ne -3$):

Dette er en selvmotsigelse, uansett hvilken $x$ vi setter inn. Likningen $f(x)=1$ har derfor ingen løsning. (Grafisk betyr dette at $y=1$ er den horisontale asymptoten til $f$, og grafen når aldri helt fram til den.)

Vi skriver om $f$ ved å utføre polynomdivisjon:

Dette viser at $f$ har vertikal asymptote $x=-3$ (der nevneren er null) og horisontal asymptote $y=1$ (når $x\to \pm \infty$ går brøkleddet mot $0$).

Grafen til $f$ tegnes for $x\in [-\mathrm{6,6}]$, $x\ne -3$:

Vi setter $f(x)=g(x)$ og ganger begge sider med $(2x+6)$:

Dette er et fullstendig kvadrat: ${(2x+3)}^2=0$, som gir én dobbel løsning:

Vi setter inn i $g$ for å finne $y$-verdien: $g(-\frac{3}{2})=2\cdot (-\frac{3}{2})+1=-2$.

Grafene til $f$ og $g$ tangerer altså hverandre i skjæringspunktet $\underline{\underline{(-{\displaystyle \frac{3}{2}},-2)}}$ (se figuren i oppgave b), der grafen til $g$ (rød linje) berører grafen til $f$ (blå kurve) uten å krysse den).

Vi setter $f(x)=h(x)$ med $h(x)=ax+1$, og ganger begge sider med $(2x+6)$:

Hvis $a=0$, blir likningen $9=0$, som ikke har noen løsning. Vi må altså ha $a\ne 0$, og likningen er da en andregradslikning i $x$. Antall løsninger avgjøres av diskriminanten:

For at likningen skal ha to løsninger, må $d>0$:

(Vi kontrollerer at $x=-3$ aldri er en løsning av $2a{x}^2+6ax+9=0$: setter vi inn $x=-3$ får vi $18a-18a+9=9\ne 0$ for alle $a$, så begge løsningene av andregradslikningen ligger alltid i definisjonsmengden til $f$.)

Likningen $f(x)=h(x)$ har altså to løsninger når $\underline{\underline{a<0\text{ eller }a>2}}$.