Punkter og vektorer i plan med trapes og vinkelvilkår

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A (1, 1)$ , $B (5, 2)$ og $C (3, 5)$ er gitt.

Bruk vektorregning til å avgjøre om punktene ligger på en rett linje.

Punktet $D$ er gitt ved $D (0, t)$ .

Bestem eventuelle verdier av $t$ slik at $∠ C D A = 90 °$ .

Bestem eventuelle verdier av $t$ slik at $A B C D$ blir et trapes.

Fasit

$A, B og C ligger ikke på en rett linje$

$t = 2 eller t = 4$

$t = \frac{5}{2} eller t = \frac{17}{4}$

LøsningsforslagKI-generert

Punktene $A$ , $B$ og $C$ ligger på en rett linje hvis vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ er parallelle. Vi finner vektorene:

\vec{A B} = (5 - 1, 2 - 1) = (4, 1)

\vec{A C} = (3 - 1, 5 - 1) = (2, 4)

To vektorer $(a_{1}, a_{2})$ og $(b_{1}, b_{2})$ er parallelle hvis $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ . Vi sjekker:

4 \cdot 4 - 1 \cdot 2 = 16 - 2 = 14 \neq 0

Siden dette ikke er $0$ , er $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ ikke parallelle, og $A$ , $B$ og $C$ ligger derfor ikke på en rett linje.

Vi finner vektorene $\vec{D C}$ og $\vec{D A}$ med $D (0, t)$ :

\vec{D C} = (3 - 0, 5 - t) = (3, 5 - t)

\vec{D A} = (1 - 0, 1 - t) = (1, 1 - t)

Vinkelen $∠ C D A = 90 °$ betyr at $\vec{D C} ⟂ \vec{D A}$ , altså at skalarproduktet er $0$ :

\vec{D C} \cdot \vec{D A} = 3 \cdot 1 + (5 - t) (1 - t) = 0

3 + 5 - 5 t - t + t^{2} = 0

t^{2} - 6 t + 8 = 0

Vi løser andregradslikningen med abc-formelen:

t = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}

t = 4 eller t = 2

$A B C D$ er et trapes dersom ett par av motstående sider er parallelle, altså $\vec{A B} ∥ \vec{D C}$ eller $\vec{B C} ∥ \vec{A D}$ .

Tilfelle 1: $\vec{A B} ∥ \vec{D C}$

\vec{A B} = (4, 1), \vec{D C} = (3 - 0, 5 - t) = (3, 5 - t)

Parallellitetsbetingelsen gir

4 (5 - t) - 1 \cdot 3 = 0

20 - 4 t - 3 = 0 \Rightarrow 4 t = 17 \Rightarrow t = \frac{17}{4}

Tilfelle 2: $\vec{B C} ∥ \vec{A D}$

\vec{B C} = (3 - 5, 5 - 2) = (- 2, 3), \vec{A D} = (0 - 1, t - 1) = (- 1, t - 1)

Parallellitetsbetingelsen gir

- 2 (t - 1) - 3 \cdot (- 1) = 0

- 2 t + 2 + 3 = 0 \Rightarrow - 2 t = - 5 \Rightarrow t = \frac{5}{2}

$A B C D$ er altså et trapes når

t = \frac{5}{2} eller t = \frac{17}{4}

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2016, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Geometri, Plan

Innstillinger