Potensfunksjon for etterspørsel og gjennomsnittlig vekstfart

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser pris og antall solgte enheter av en vare.

Pris (kroner)	15	19	24	30	34	42	50
Antall solgte enheter	160	132	108	90	79	67	58

Bruk regresjon til å vise at funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = 1600 \cdot x^{-0{,}85}

er en god modell for sammenhengen mellom pris $x$ og antall solgte enheter av varen.

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ for $15 \leq x \leq 50$

Bestem antall solgte enheter når prisen er 45 kroner.

Bestem prisen når antall solgte enheter er 100.

Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten for funksjonen $f$ fra $x = 20$ til $x = 45$ . Hva forteller svaret om antall solgte enheter?

Fasit

Modellverdiene stemmer godt overens med tabellverdiene (maks avvik ca. $1{,}2$ ).

Graf av $f(x) = 1600 \cdot x^{-0{,}85}$ for $15 \leq x \leq 50$ — avtagende kurve.

$\underline{\underline{f(45) \approx 63 \mathrm{~enheter}}}$

$\underline{\underline{x \approx 26 \, \mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{\approx -2{,}50 \text{~enheter per krone}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $x$ -verdiene fra tabellen i $f(x) = 1600 \cdot x^{-0{,}85}$ og sammenligner med de målte antallene:

Pris $x$ (kr)	Målt antall	$f(x)$	Avvik
15	160	160,1	0,1
19	132	131,0	−1,0
24	108	107,4	−0,6
30	90	88,8	−1,2
34	79	79,9	0,9
42	67	66,7	−0,3
50	58	57,5	−0,5

Alle avvik er svært små (maks $1{,}2$ enheter), og modellverdiene ligger tett på målingene for hele prisintervallet. $f(x) = 1600 \cdot x^{-0{,}85}$ er dermed en god modell for sammenhengen.

Grafen til $f(x) = 1600 \cdot x^{-0{,}85}$ for $15 \leq x \leq 50$ er en avtagende kurve. Den starter på ca. $160$ enheter ved $x = 15$ og synker til ca. $58$ enheter ved $x = 50$ . Kurven er brattest ved lave priser og flater gradvis ut.

Grafen til potensfunksjonen for etterspørsel

Den grå linjen er sekanten mellom $A = (20,\; 125{,}4)$ og $B = (45,\; 62{,}9)$ , som illustrerer den gjennomsnittlige vekstfarten i oppgave e).

Vi setter inn $x = 45$ i modellen:

f(45) = 1600 \cdot 45^{-0{,}85}

= 1600 \cdot \frac{1}{45^{0{,}85}} \approx 1600 \cdot 0{,}03934 \approx 62{,}9

Når prisen er 45 kroner, selges det ca. $\underline{\underline{63 \mathrm{~enheter}}}$ .

Vi setter $f(x) = 100$ og løser likningen:

1600 \cdot x^{-0{,}85} = 100

x^{-0{,}85} = \frac{100}{1600} = \frac{1}{16}

x^{0{,}85} = 16

x = 16^{\frac{1}{0{,}85}} = 16^{\frac{20}{17}} \approx 26{,}1

Prisen er ca. $\underline{\underline{26 \, \mathrm{kr}}}$ når 100 enheter selges.

Den gjennomsnittlige vekstfarten fra $x = 20$ til $x = 45$ er:

\frac{f(45) - f(20)}{45 - 20}

Vi regner ut de to funksjonsverdiene:

f(20) = 1600 \cdot 20^{-0{,}85} \approx 125{,}4

f(45) = 1600 \cdot 45^{-0{,}85} \approx 62{,}9

\frac{f(45) - f(20)}{45 - 20} = \frac{62{,}9 - 125{,}4}{25} = \frac{-62{,}5}{25} \approx -2{,}50

Den gjennomsnittlige vekstfarten er $\underline{\underline{\approx -2{,}50 \text{~enheter per krone}}}$ .

Det betyr at for hver krone prisen øker i intervallet fra 20 til 45 kroner, synker antall solgte enheter i gjennomsnitt med ca. 2,5 enheter.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Regresjon, Etterspørsel, Gjennomsnittlig vekstfart

Potensfunksjon for etterspørsel og gjennomsnittlig vekstfart

Sync på tvers av enheter

Potensfunksjon for etterspørsel og gjennomsnittlig vekstfart

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave