Vi sjekker om $(x+2)$ er en faktor ved å bruke faktorteoremet: $P(-2)=0$ betyr at $(x+2)$ er en faktor.

Siden $P(-2)=0$, er $P(x)$ delelig med $(x+2)$.

Vi utfører polynomdivisjon:

Vi kan kontrollere: $(x+2)(x^2-8x+16)=x^3-8x^2+16x+2x^2-16x+32=x^3-6x^2+32$ ✓

Vi faktoriserer $x^2-8x+16={(x-4)}^2$, så

Nullpunktene er der $P(x)=0$:

• $x+2=0\Rightarrow x=-2$
• ${(x-4)}^2=0\Rightarrow x=4$

Nullpunktene er $x=-2$ og $x=4$.

Vi deriverer:

Stasjonære punkter der $P^{\prime }(x)=0$:

Vi bruker andrederivert for å klassifisere:

$x=0$: $P^{\prime \prime }(0)=-12<0$ $\Rightarrow$ toppunkt. $P(0)=32$.

Toppunkt: $(0,32)$

$x=4$: $P^{\prime \prime }(4)=24-12=12>0$ $\Rightarrow$ bunnpunkt. $P(4)=64-96+32=0$.

Bunnpunkt: $(4,0)$

Vendepunkt der $P^{\prime \prime }(x)=0$:

Vi sjekker at $P^{\prime \prime }$ skifter fortegn ved $x=2$ (fra negativ til positiv), så dette er et vendepunkt.

Vendepunkt: $(2,16)$

Vi har følgende punkter å bygge skissen på:

Grafen stiger fra venstre, har toppunkt i $(0,32)$, synker gjennom vendepunktet $(2,16)$ og tangerer $x$-aksen i bunnpunktet $(4,0)$, før den stiger igjen mot høyre. $P(x)\to -\infty$ når $x\to -\infty$ og $P(x)\to +\infty$ når $x\to +\infty$.