Polynomdivisjon og faktorisering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Guri har utført to ulike polynomdivisjoner og påstår at begge divisjonene viser at faktoriseringen nedenfor er riktig.

2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6 = (2 x^{2} + 7 x + 3) \cdot (x - 2)

Hvilke to polynomdivisjoner kan hun ha utført?

Utfør de to polynomdivisjonene, og forklar at hver av dem viser at faktoriseringen er riktig.

Fasit

Divisjon 1: $(2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6) : (x - 2) = 2 x^{2} + 7 x + 3$ , rest $0$

Divisjon 2: $(2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6) : (2 x^{2} + 7 x + 3) = x - 2$ , rest $0$

LøsningsforslagKI-generert

Guri påstår at $2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6 = (2 x^{2} + 7 x + 3) (x - 2)$ .

For å kontrollere dette kan hun dele på én av faktorene og sjekke at resten blir $0$ og kvotienten er den andre faktoren. To naturlige valg er:

Divisjon 1: dele på den enkle faktoren $(x - 2)$
Divisjon 2: dele på den kvadratiske faktoren $(2 x^{2} + 7 x + 3)$

Divisjon 1: $(2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6) : (x - 2)$

\begin{matrix} (2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6 & ) : (x - 2) = 2 x^{2} + 7 x + 3 \\ 2 x^{3} - 4 x^{2} + 0 x + 0 \\ 7 x^{2} - 11 x - 6 \\ 7 x^{2} - 14 x + 0 \\ 3 x - 6 \\ 3 x - 6 \\ 0 \end{matrix}

Steg for steg:

$2 x^{3} : x = 2 x^{2}$ , og $2 x^{2} \cdot (x - 2) = 2 x^{3} - 4 x^{2}$ . Rest: $7 x^{2} - 11 x - 6$
$7 x^{2} : x = 7 x$ , og $7 x \cdot (x - 2) = 7 x^{2} - 14 x$ . Rest: $3 x - 6$
$3 x : x = 3$ , og $3 \cdot (x - 2) = 3 x - 6$ . Rest: $0$

Kvotienten er $2 x^{2} + 7 x + 3$ og resten er $0$ .

Siden resten er $0$ , er $(x - 2)$ en faktor i $2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6$ , og vi får

2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6 = (x - 2) (2 x^{2} + 7 x + 3)

Dette viser at faktoriseringen er riktig.

Divisjon 2: $(2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6) : (2 x^{2} + 7 x + 3)$

\begin{matrix} (2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6 & ) : (2 x^{2} + 7 x + 3) = x - 2 \\ 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x + 0 \\ - 4 x^{2} - 14 x - 6 \\ - 4 x^{2} - 14 x - 6 \\ 0 \end{matrix}

Steg for steg:

$2 x^{3} : 2 x^{2} = x$ , og $x \cdot (2 x^{2} + 7 x + 3) = 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x$ . Rest: $- 4 x^{2} - 14 x - 6$
$- 4 x^{2} : 2 x^{2} = - 2$ , og $- 2 \cdot (2 x^{2} + 7 x + 3) = - 4 x^{2} - 14 x - 6$ . Rest: $0$

Kvotienten er $x - 2$ og resten er $0$ .

Siden resten er $0$ , er $(2 x^{2} + 7 x + 3)$ en faktor i $2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6$ , og vi får

2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6 = (2 x^{2} + 7 x + 3) (x - 2)

Dette viser at faktoriseringen er riktig.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

I utgangspunktet gis ett poeng for hver riktig utført polynomdivisjon og ett poeng for forklaringen av faktoriseringen.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2024, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Algebra
Kompetansemål: Forklare polynomdivisjon og bruke det til å omskrive algebraiske uttrykk, drøfte funksjonar og løyse likningar og ulikskapar
Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne

Polynomdivisjon og faktorisering

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Polynomdivisjon og faktorisering

Lov på eksamen

Divisjon 1: $(2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6) : (x - 2)$

Divisjon 2: $(2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6) : (2 x^{2} + 7 x + 3)$

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Polynomdivisjon og faktorisering

Polynomdivisjon og faktorisering

Lov på eksamen

Divisjon 1: (2x3+3x2−11x−6):(x−2)

Divisjon 2: (2x3+3x2−11x−6):(2x2+7x+3)

Temaer

Divisjon 1: $(2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6) : (x - 2)$

Divisjon 2: $(2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6) : (2 x^{2} + 7 x + 3)$