Polynomdivisjon og faktorisering (s2 v14)

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $P$ er gitt ved

P (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4, D_{P} = ℝ

Bestem $P (2)$ .

Bruk polynomdivisjon til å faktorisere $P (x)$ i lineære faktorer.

Fasit

$P (2) = 0$

$P (x) = {(x - 2)}^{2} (x + 1)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $x = 2$ direkte i $P (x)$ :

P (2) = 2^{3} - 3 \cdot 2^{2} + 4 = 8 - 12 + 4 = 𝟎

Siden $P (2) = 0$ , vet vi at $(x - 2)$ er en faktor i $P (x)$ .

Vi utfører polynomdivisjon $(x^{3} - 3 x^{2} + 4) : (x - 2)$ :

\begin{matrix} (x^{3} - 3 x^{2} + 0 x + 4 & ) : (x - 2) = x^{2} - x - 2 \\ x^{3} - 2 x^{2} + 0 x + 0 \\ - 1 x^{2} + 0 x + 4 \\ - 1 x^{2} + 2 x + 0 \\ - 2 x + 4 \\ - 2 x + 4 \\ 0 \end{matrix}

Altså er $P (x) = (x - 2) (x^{2} - x - 2)$ .

Vi faktoriserer andregradsleddet $x^{2} - x - 2$ med abc-formelen:

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}

Dette gir $x = 2$ eller $x = - 1$ , så $x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1)$ .

Dermed er

𝐏 (𝐱) = {(𝐱 - 𝟐)}^{𝟐} (𝐱 + 𝟏)

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2014, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering

Innstillinger