Polynomdivisjon faktorisering og ulikhet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} + 6 x^{2} - x - 30

Vis at divisjonen $f (x) : (x - 2)$ går opp.

Faktoriser $f (x)$ i lineære faktorer.

Løs ulikheten $- 2 \cdot f (x) \geq 0$

Fasit

$f (2) = 0$ , divisjonen går opp

$f (x) = (x - 2) (x + 3) (x + 5)$

$x \in ⟨ - \infty, - 5] \cup [- 3, 2]$

LøsningsforslagKI-generert

Ifølge faktorsetningen går divisjonen $f (x) : (x - 2)$ opp hvis og bare hvis $f (2) = 0$ . Vi setter $x = 2$ inn i $f$ :

f (2) = 2^{3} + 6 \cdot 2^{2} - 2 - 30 = 8 + 24 - 2 - 30 = 0

Siden $f (2) = 0$ , går divisjonen opp, altså er $(x - 2)$ en faktor i $f (x)$ .

Vi utfører polynomdivisjonen $f (x) : (x - 2)$ :

\begin{matrix} (x^{3} + 6 x^{2} - 1 x - 30 & ) : (x - 2) = x^{2} + 8 x + 15 \\ x^{3} - 2 x^{2} + 0 x + 0 \\ 8 x^{2} - 1 x - 30 \\ 8 x^{2} - 16 x + 0 \\ 15 x - 30 \\ 15 x - 30 \\ 0 \end{matrix}

Kvotienten $x^{2} + 8 x + 15$ faktoriseres videre. Vi trenger to tall som gir sum $8$ og produkt $15$ , det vil si $3$ og $5$ :

x^{2} + 8 x + 15 = (x + 3) (x + 5)

Dermed er $f (x)$ faktorisert i lineære faktorer:

f (x) = (x - 2) (x + 3) (x + 5)

Ulikheten $- 2 \cdot f (x) \geq 0$ deles på $- 2$ . Siden vi deler på et negativt tall, snur ulikhetstegnet:

f (x) \leq 0

Vi bruker faktoriseringen fra b) og fortegnsskjema. Nullpunktene til $f (x) = (x - 2) (x + 3) (x + 5)$ er $x = - 5$ , $x = - 3$ og $x = 2$ .

Fortegnslinje for f(x)

Vi leser av hvor $f (x) \leq 0$ , altså der fortegnet er negativt eller null:

x \in ⟨ - \infty, - 5] \cup [- 3, 2]

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2018, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter, Nullpunkter

Innstillinger