Polynom med faktorisering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et polynom $P$ er gitt ved

P (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4

Begrunn at $P (x)$ er delelig med $(x - 1)$ .

Faktoriser $P (x)$ i førstegradsfaktorer.

Fasit

$P (1) = 0$ , altså må $(x - 1)$ være en faktor i $P (x)$ .

$P (x) = {(x - 1)}^{2} (x - 4)$

Løsningsforslag

$P (x)$ vil være delelig med $(x - 1)$ dersom vi kan faktorisere $P (x)$ på denne måten $P (x) = (x - 1) \cdot a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ . For å kunne gjennomføre denne faktorisering så må $x = 1$ være et nullpunkt til $P$ .

P (1) = 1^{3} - 6 \cdot 1^{2} + 9 \cdot 1 - 4 = 1 - 6 + 9 - 4 = 0

$(x - 1)$ må være en faktor i $P$ og $P$ må derfor være delelig på $(x - 1)$ .

$(x - 1)$ er en faktor. Vi gjennomfører polynomdivisjon for å kunne finne de de andre faktorene.

\begin{matrix} (x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4 & ) : (x - 1) = x^{2} - 5 x + 4 \\ x^{3} - 1 x^{2} + 0 x + 0 \\ - 5 x^{2} + 9 x - 4 \\ - 5 x^{2} + 5 x + 0 \\ 4 x - 4 \\ 4 x - 4 \\ 0 \end{matrix}

Dette gir oss at $P (x) = (x - 1) (x^{2} - 5 x + 4)$ .

Vi faktoriserer andregradsuttrykket $x^{2} - 5 x + 4$ ved hjelp av heltallsmetoden. Vi ser etter to tall som har sum $- 5$ og produkt $4$ . Tallene er $- 1$ og $- 4$ :

x^{2} - 5 x + 4 = (x - 1) (x - 4)

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2019, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Polynom med faktorisering

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Polynom med faktorisering

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Polynom med faktorisering

Polynom med faktorisering

Lov på eksamen

Temaer