Påstand om sum av rekke

For hånd

Avgjør om påstanden nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

En uendelig geometriske rekke er gitt ved $1 + (\ln x - 1) + {(\ln x - 1)}^{2} \dots$

Påstand: Dersom $x = \frac{1}{e}$ vil summen av rekka være $\frac{1}{3}$ .

Fasit

Påstanden er usann. $k = - 2$ og rekka konvergerer ikke.

Løsningsforslag

Jeg vet at summen av en uendelig geometrisk rekke er gitt ved

s = \frac{a_{1}}{1 - k}

dersom $- 1 < k < 1$ .

Hvis vi vi lar $x = \frac{1}{e}$ så vil rekka bli

1 + (\ln \frac{1}{e} - 1) + {(\ln \frac{1}{e} - 1)}^{2} + \dots

La oss se hva $\ln \frac{1}{e} - 1$ blir

\ln \frac{1}{e} - 1 = \ln 1 - \ln e - 1 = 0 - 1 - 1 = - 2

Det første leddet i rekka er $a_{1} = 1$ og det andre leddet er $a_{2} = - 2$ , det vil si at

k = \frac{- 2}{1} = - 2

$k$ ligger ikke i intervallet $⟨ - 1,1 ⟩$ , og dermed konvergerer ikke rekka.

Påstanden er usann, rekka konvergerer ikke når $𝒙 = \frac{1}{𝒆}$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Kandidaten må argumentere dersom det skal gis full uttelling. Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten viser relevant argumentasjon, men ikke kommer fram til riktig svar. Kun rett svar uten begrunnelse gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2024, del 2, oppgave 3a
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Rekker, Uendelig rekke, Konvergens, Geometrisk rekke, Argumentasjon
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Påstand om sum av rekke

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Påstand om sum av rekke

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Påstand om sum av rekke

Påstand om sum av rekke

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer