Sjekk at punktene ligger på sirkelen

Sirkelen har sentrum i origo og radius $5$. For et punkt $(x,y)$ på sirkelen er avstanden til origo lik radiusen, så $x^2+y^2=5^2$ (Pytagoras). Vi sjekker punktene:

Alle de seks punktene ligger på sirkelen.

Finner skjæringspunktet $G$ (linjene $AB$ og $DE$)

Stigningstallet til $AB$ gjennom $A(-\mathrm{3,4})$ og $B(0,-5)$:

Linjen skjærer $y$-aksen i $B(0,-5)$, så $AB$: $y=-3x-5$.

Stigningstallet til $DE$ gjennom $D(-4,-3)$ og $E(\mathrm{0,5})$:

Linjen skjærer $y$-aksen i $E(\mathrm{0,5})$, så $DE$: $y=2x+5$.

Vi setter uttrykkene like hverandre for å finne skjæringspunktet:

Vi setter $x=-2$ inn i $DE$: $y=2\cdot (-2)+5=1$. Altså $G(-\mathrm{2,1})$.

Finner skjæringspunktet $H$ (linjene $AF$ og $CD$)

Stigningstallet til $AF$ gjennom $A(-\mathrm{3,4})$ og $F(3,-4)$:

Vi setter inn $F(3,-4)$ for å finne konstantleddet: $-4=-\frac{4}{3}\cdot 3+b=-4+b$, som gir $b=0$. Altså $AF$: $y=-\frac{4}{3}x$.

Stigningstallet til $CD$ gjennom $C(\mathrm{4,3})$ og $D(-4,-3)$:

Vi setter inn $D(-4,-3)$: $-3=\frac{3}{4}\cdot (-4)+b=-3+b$, som gir $b=0$. Altså $CD$: $y=\frac{3}{4}x$.

Vi setter uttrykkene like hverandre:

Vi setter $x=0$ inn i $CD$: $y=\frac{3}{4}\cdot 0=0$. Altså $H(\mathrm{0,0})$ — skjæringspunktet er origo.

Finner skjæringspunktet $K$ (linjene $EF$ og $BC$)

Stigningstallet til $EF$ gjennom $E(\mathrm{0,5})$ og $F(3,-4)$:

Linjen skjærer $y$-aksen i $E(\mathrm{0,5})$, så $EF$: $y=-3x+5$.

Stigningstallet til $BC$ gjennom $B(0,-5)$ og $C(\mathrm{4,3})$:

Linjen skjærer $y$-aksen i $B(0,-5)$, så $BC$: $y=2x-5$.

Vi setter uttrykkene like hverandre:

Vi setter $x=2$ inn i $BC$: $y=2\cdot 2-5=-1$. Altså $K(2,-1)$.

Finner Pascal-linjen gjennom $G$, $H$ og $K$

Vi finner stigningstallet mellom $H(\mathrm{0,0})$ og $K(2,-1)$:

Siden linjen går gjennom origo, $H(\mathrm{0,0})$, er konstantleddet $0$. Pascal-linjen er da

Vi kontrollerer med $G(-\mathrm{2,1})$: $-\frac{1}{2}\cdot (-2)=1$ ✓, som stemmer.

$\underline{\underline{y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x}}$