Parallellogram innskrevet i kvadrat optimering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I et kvadrat $A B C D$ med side 4 er det innskrevet et parallellogram $E F G H$ . Vi setter $A E = C G = x$ og $B F = D H = 2 x$ . Se skissen nedenfor.

Parallellogram EFGH innskrevet i kvadrat ABCD

For hånd

Vis at arealet $T$ av parallellogrammet $E F G H$ er

T (x) = 4 x^{2} - 12 x + 16, x \in [0, 2]

For hånd

Bestem $x$ slik at arealet av parallellogrammet $E F G H$ blir halvparten av arealet av kvadratet $A B C D$ .

For hånd

Bestem $x$ slik at arealet av parallellogrammet $E F G H$ blir minst mulig. Bestem det minste arealet.

Vi legger figuren inn i et koordinatsystem slik at $A$ ligger i origo og $B$ på positiv $x$ -akse.

For hånd

Bestem vektorene $\vec{H E}$ og $\vec{H G}$ uttrykt ved $x$ og bruk dette til å bestemme $x$ slik at parallellogrammet $E F G H$ blir et rektangel.

Fasit

Vist at $T (x) = 4 x^{2} - 12 x + 16$

$x = 1 eller x = 2$

$x = 1,5$ , minste areal $T = 7$

$\vec{H E} = (x, 2 x - 4)$ , $\vec{H G} = (4 - x, 2 x)$ , $x = \frac{4}{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger kvadratet $A B C D$ i et koordinatsystem med $A$ i origo og $B$ på positiv $x$ -akse: $A = (0,0)$ , $B = (4,0)$ , $C = (4,4)$ , $D = (0,4)$ .

Siden $A E = x$ og $E$ ligger på $A B$ , er $E = (x, 0)$ . Siden $B F = 2 x$ og $F$ ligger på $B C$ , er $F = (4, 2 x)$ . Siden $C G = x$ og $G$ ligger på $C D$ , er $G = (4 - x, 4)$ . Siden $D H = 2 x$ og $H$ ligger på $D A$ , er $H = (0, 4 - 2 x)$ .

For at $F$ og $H$ skal ligge på sidene $B C$ og $D A$ (som begge har lengde 4), må $2 x \leq 4$ , altså $x \leq 2$ . Sammen med $x \geq 0$ gir dette definisjonsmengden $x \in [0, 2]$ .

Vi bruker vektorene $\vec{H E}$ og $\vec{H G}$ :

\vec{H E} = E - H = (x, 2 x - 4) \vec{H G} = G - H = (4 - x, 2 x)

Arealet av parallellogrammet $E F G H$ er lik lengden av kryssproduktet (determinanten) av de to vektorene:

T (x) = | x \cdot 2 x - (2 x - 4) (4 - x) |

Vi regner ut parentesen:

(2 x - 4) (4 - x) = 8 x - 2 x^{2} - 16 + 4 x = - 2 x^{2} + 12 x - 16

Dette gir

T (x) = | 2 x^{2} - (- 2 x^{2} + 12 x - 16) | = | 4 x^{2} - 12 x + 16 |

Uttrykket $4 x^{2} - 12 x + 16$ er et andregradsuttrykk med positiv ledende koeffisient og diskriminant ${(- 12)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 16 = 144 - 256 = - 112 < 0$ , så det er alltid positivt. Da kan vi sløyfe absoluttverditegnet:

T (x) = 4 x^{2} - 12 x + 16, x \in [0, 2]

Dette er vist med CAS i utklippet under (linje 1, kalt Cross), der uttrykket ble forenklet til nøyaktig samme form.

Løsning med CAS

Kvadratet $A B C D$ har areal $4 \cdot 4 = 16$ . Halvparten av dette er $8$ . Vi løser $T (x) = 8$ i CAS (linje 2 i utklippet):

T (x) = 8 \Rightarrow x = 1 eller x = 2

Begge løsningene ligger i definisjonsmengden $[0, 2]$ .

x = 1 eller x = 2

$T (x) = 4 x^{2} - 12 x + 16$ er en oppoverbuet parabel, så minimumsverdien finnes i bunnpunktet. CAS gir (linje 3 i utklippet):

Min (T, 0, 2) = (\frac{3}{2}, 7)

Bunnpunktet $x = \frac{3}{2}$ ligger i definisjonsmengden $[0, 2]$ , så dette er det globale minimumet på intervallet.

x = 1,5 T_{\min} = 7

Vektorene fra deloppgave a) er

\vec{H E} = (x, 2 x - 4) \vec{H G} = (4 - x, 2 x)

Siden $E F G H$ allerede er et parallellogram, blir det et rektangel nettopp når de to sidevektorene $\vec{H E}$ og $\vec{H G}$ står vinkelrett på hverandre, altså når skalarproduktet er null:

\vec{H E} \cdot \vec{H G} = x (4 - x) + (2 x - 4) (2 x) = 4 x - x^{2} + 4 x^{2} - 8 x = 3 x^{2} - 4 x

CAS løser $3 x^{2} - 4 x = 0$ (linje 5 i utklippet):

x = 0 eller x = \frac{4}{3}

$x = 0$ gir $E = A$ , $F = B$ , $G = C$ , $H = D$ , altså at parallellogrammet faller sammen med kvadratet selv — en triviell løsning som ikke er et egentlig innskrevet parallellogram. Den eneste reelle løsningen er derfor

x = \frac{4}{3}

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2014, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Optimering, Areal og omkrets, Vektorer, Geometri

Parallellogram innskrevet i kvadrat optimering

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Parallellogram innskrevet i kvadrat optimering

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Parallellogram innskrevet i kvadrat optimering

Parallellogram innskrevet i kvadrat optimering

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer