Overskuddsfunksjon fra tre opplysninger

En bedrift produserer en vare. Bedriften selger alt den produserer. Overskuddet $O$ ved salg av $x$ enheter per uke er gitt ved

O(x) = ax^2 + bx + c

Når bedriften produserer 200 enheter per uke, blir overskuddet lik $0$ .
Overskuddet er størst når bedriften selger 475 enheter.
Når bedriften selger 600 enheter per uke, er grensekostnaden 5 kroner større enn grenseinntekten.

Vis at disse opplysningene gir likningssystemet

\begin{aligned} 40\,000a + 200b + c &= 0 \\ 950a + b &= 0 \\ 1200a + b &= -5 \end{aligned}

Bruk CAS til å bestemme $a$ , $b$ og $c$ .

Hva er det største overskuddet bedriften kan få per uke?

Fasit

Se løsningsforslag.

$\underline{\underline{a = -0{,}02,\quad b = 19,\quad c = -3000}}$

$\underline{\underline{O(475) = 1512{,}5 \, \mathrm{kr}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Hver av de tre opplysningene gir én likning i $a$ , $b$ og $c$ .

Opplysning 1: «Overskuddet er lik $0$ når bedriften produserer 200 enheter.»

O(200) = 0 \quad \Rightarrow \quad a \cdot 200^2 + b \cdot 200 + c = 0 \quad \Rightarrow \quad \textcolor{seagreen}{40\,000a + 200b + c = 0}

Opplysning 2: «Overskuddet er størst når bedriften selger 475 enheter.»

Maksimum betyr at $O'(475) = 0$ . Siden $O'(x) = 2ax + b$ , får vi:

O'(475) = 0 \quad \Rightarrow \quad 2a \cdot 475 + b = 0 \quad \Rightarrow \quad \textcolor{steelblue}{950a + b = 0}

Opplysning 3: «Når bedriften selger 600 enheter, er grensekostnaden 5 kroner større enn grenseinntekten.»

Overskudd er definert som inntekt minus kostnad: $O(x) = I(x) - K(x)$ . Grenseinntekt og grensekostnad er henholdsvis $I'(x)$ og $K'(x)$ . Betingelsen $K'(600) = I'(600) + 5$ gir:

O'(600) = I'(600) - K'(600) = I'(600) - \bigl(I'(600) + 5\bigr) = -5

Altså:

O'(600) = -5 \quad \Rightarrow \quad 2a \cdot 600 + b = -5 \quad \Rightarrow \quad \textcolor{tomato}{1200a + b = -5}

De tre opplysningene gir dermed likningssystemet

\begin{aligned} \textcolor{seagreen}{40\,000a + 200b + c} &\textcolor{seagreen}{= 0} \\ \textcolor{steelblue}{950a + b} &\textcolor{steelblue}{= 0} \\ \textcolor{tomato}{1200a + b} &\textcolor{tomato}{= -5} \end{aligned}

Vi skriver likningssystemet inn i CAS:

LøsLigningssystem({40000a + 200b + c = 0, 950a + b = 0, 1200a + b = -5}, {a, b, c})

CAS gir:

\underline{\underline{a = -0{,}02, \quad b = 19, \quad c = -3000}}

Overskuddsfunksjonen er altså $O(x) = -0{,}02x^2 + 19x - 3000$ .

Fra oppgave a) vet vi at maksimum inntreffer ved $x = 475$ . Vi setter inn:

O(475) = -0{,}02 \cdot 475^2 + 19 \cdot 475 - 3000 = -4512{,}5 + 9025 - 3000 = 1512{,}5

Det største overskuddet bedriften kan få per uke er $\underline{\underline{1512{,}5 \, \mathrm{kr}}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Modellering, Likningssystem, Optimering, Grenseinntekt og grensekostnad

Overskuddsfunksjon fra tre opplysninger

Sync på tvers av enheter

Overskuddsfunksjon fra tre opplysninger

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave