Overskuddsfunksjon derivasjon og maksimum

Funksjonen $O$ gitt ved

O (x) = - 0,05 x^{2} + 100 x - 10 000

er en god modell for overskuddet i kroner som en bedrift har hver uke, dersom den produserer og selger $x$ enheter av en vare.

Bestem $O^{'} (500)$ . Gi en tolkning av svaret i denne situasjonen.

Hva er det maksimale overskuddet denne bedriften kan ha hver uke, ifølge modellen $O$ ?

Fasit

$O^{'} (500) = 50$ . Overskuddet øker med omtrent 50 kroner per ekstra enhet når bedriften produserer 500 enheter.

Maksimalt ukentlig overskudd er 40 000 kroner (ved $x = 1000$ enheter).

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $O (x) = - 0,05 x^{2} + 100 x - 10 000$ :

O^{'} (x) = - 0,1 x + 100

Vi setter inn $x = 500$ :

O^{'} (500) = - 0,1 \cdot 500 + 100 = - 50 + 100 = 50

Tolkning: Når bedriften produserer 500 enheter per uke, øker overskuddet med omtrent 50 kroner for hver ekstra enhet som produseres og selges.

Overskuddet er størst når $O^{'} (x) = 0$ :

- 0,1 x + 100 = 0

x = \frac{100}{0,1} = 1000

Siden andregradsleddet i $O (x)$ er negativt ( $- 0,05 < 0$ ), er $x = 1000$ et maksimumspunkt.

Det maksimale ukentlige overskuddet er:

O (1000) = - 0,05 \cdot 1000^{2} + 100 \cdot 1000 - 10 000

= - 50 000 + 100 000 - 10 000 = 40 000

Det maksimale ukentlige overskuddet er 40 000 kroner.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2022, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Optimering, Modellering

Innstillinger