Optimering av overskudd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer og selger $x$ enheter av en vare per dag. Det viser seg at inntekten $I$ i kroner per dag er gitt ved

I(x) = 3200 \cdot \ln(2{,}5x + 1) \quad , \quad x \geq 0

Kostnaden $K$ i kroner per dag kan skrives på formen

K(x) = ax^2 + bx + c

Erfaringer viser at

det koster i alt 3225 kroner å produsere 50 enheter per dag
det koster i alt 4900 kroner å produsere 100 enheter per dag
grensekostnadene ved å produsere 100 enheter er 41 kroner per enhet

Bruk CAS til å bestemme $a$ , $b$ og $c$ . Vis at

K'(x) = 0{,}3x + 11

Bestem $I'(100)$ og $K'(100)$ . Hva forteller svarene oss? Avgjør ut fra svarene om bedriften bør produsere flere eller færre enn 100 enheter per dag.

Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge per dag for at overskuddet skal bli størst mulig?

Fasit

$K(x) = \frac{3}{20}x^2 + 11x + 2300$ , $K'(x) = 0{,}3x + 11$

$I'(100) = \frac{8000}{251} \approx 31{,}87$ , $K'(100) = 41$ . Siden $K'(100) > I'(100)$ bør bedriften produsere færre enn 100 enheter per dag.

Overskuddet er størst når bedriften produserer $x \approx 86$ enheter per dag.

LøsningsforslagKI-generert

Vi har tre betingelser for $K(x) = ax^2 + bx + c$ :

K(50) = 3225 \implies 2500a + 50b + c = 3225

K(100) = 4900 \implies 10000a + 100b + c = 4900

K'(100) = 41 \implies 200a + b = 41

Vi løser likningssystemet med CAS:

a = \frac{3}{20}, \quad b = 11, \quad c = 2300

Dermed er

K(x) = \frac{3}{20}x^2 + 11x + 2300

Vi deriverer:

K'(x) = \frac{3}{10}x + 11 = 0{,}3x + 11 \quad \checkmark

Vi deriverer inntektsfunksjonen:

I'(x) = \frac{3200 \cdot 2{,}5}{2{,}5x + 1} = \frac{8000}{2{,}5x + 1}

Ved $x = 100$ :

I'(100) = \frac{8000}{251} \approx 31{,}87

K'(100) = 0{,}3 \cdot 100 + 11 = 41

$I'(100) \approx 31{,}87$ betyr at den 101. enheten gir ca. 31,87 kr ekstra i inntekt. $K'(100) = 41$ betyr at den 101. enheten koster 41 kr ekstra å produsere.

Siden grensekostnaden er høyere enn grenseinntekten ved $x = 100$ , vil overskuddet minke dersom bedriften øker produksjonen utover 100 enheter. Bedriften bør derfor produsere færre enn 100 enheter per dag.

Overskuddet er

O(x) = I(x) - K(x) = 3200\ln(2{,}5x+1) - \frac{3}{20}x^2 - 11x - 2300

Overskuddet er størst når $O'(x) = 0$ :

O'(x) = I'(x) - K'(x) = \frac{8000}{2{,}5x + 1} - 0{,}3x - 11 = 0

Vi løser med CAS og får $x \approx 86$ .

Vi kan kontrollere at dette er et maksimum siden $O''(86) < 0$ .

Bedriften bør produsere og selge 86 enheter per dag for at overskuddet skal bli størst mulig.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering, Økonomi

Optimering av overskudd

Sync på tvers av enheter

Optimering av overskudd

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave