Normalfordelt vekt av rugbrød

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Baker Nilsen lager rugbrød. Vi går ut fra at vekten av rugbrødene er normalfordelt med $μ = 1,00 k g$ og $σ = 0,05 k g$ .

Bestem sannsynligheten for at et tilfeldig valgt rugbrød veier mellom $0,90 k g$ og $1,10 k g$ .

Rugbrødene sendes til butikkene på paller med 100 rugbrød på hver pall.

Bestem sannsynligheten for at vekten av rugbrødene på en tilfeldig pall er mellom $99,5 k g$ og $100,5 k g$ .

Fasit

$P (0,90 < X < 1,10) \approx 0,9545$

$P (99,5 < S < 100,5) \approx 0,6827$

LøsningsforslagKI-generert

La $X$ være vekten av ett tilfeldig valgt rugbrød. $X$ er normalfordelt med $μ = 1,00 k g$ og $σ = 0,05 k g$ .

Vi standardiserer grenseverdiene:

z_{1} = \frac{0,90 - 1,00}{0,05} = \frac{- 0,10}{0,05} = - 2

z_{2} = \frac{1,10 - 1,00}{0,05} = \frac{0,10}{0,05} = 2

Vi får da:

P (0,90 < X < 1,10) = P (- 2 < Z < 2) = Φ (2) - Φ (- 2)

Fra $z$ -tabellen:

Φ (2) = 0,9772 Φ (- 2) = 1 - Φ (2) = 1 - 0,9772 = 0,0228

P (- 2 < Z < 2) = 0,9772 - 0,0228 = 𝟎,𝟗𝟓𝟒𝟓

Sannsynligheten er omtrent $95,4 %$ . Dette tilsvarer at brødet er innenfor to standardavvik fra gjennomsnittet.

La $S$ være den totale vekten av 100 rugbrød på en pall.

Siden brødene er uavhengige, gjelder:

E (S) = 100 \cdot μ = 100 \cdot 1,00 = 100 k g

SD (S) = \sqrt{100} \cdot σ = 10 \cdot 0,05 = 0,5 k g

$S$ er tilnærmet normalfordelt med $μ_{S} = 100$ og $σ_{S} = 0,5$ .

Vi standardiserer grenseverdiene:

z_{3} = \frac{99,5 - 100}{0,5} = \frac{- 0,5}{0,5} = - 1

z_{4} = \frac{100,5 - 100}{0,5} = \frac{0,5}{0,5} = 1

Vi får da:

P (99,5 < S < 100,5) = P (- 1 < Z < 1) = Φ (1) - Φ (- 1)

Fra $z$ -tabellen:

Φ (1) = 0,8413 Φ (- 1) = 1 - Φ (1) = 1 - 0,8413 = 0,1587

P (- 1 < Z < 1) = 0,8413 - 0,1587 = 𝟎,𝟔𝟖𝟐𝟕

Sannsynligheten er omtrent $68,3 %$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2018, del 1, oppgave 8
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Normalfordeling, Sannsynlighet

Innstillinger