Vi tegner grafen til $f(x) = e^{-\frac{(x-5)^2}{2}}$ med GeoGebra. Vendepunktene $VP_1 = (4,\, e^{-1/2})$ og $VP_2 = (6,\, e^{-1/2})$ er markert med grønne punkter.

Vi skal bestemme $f'(x)$ og $f''(x)$ og vise at

Første deriverte — kjerneregelen

Vi skriver $f(x) = e^{u(x)}$ der den indre funksjonen er

Den deriverte av den indre funksjonen er

Med kjerneregelen $\bigl(e^{u(x)}\bigr)' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$ får vi

Andre deriverte — produktregelen

Vi skriver $f'(x) = g(x) \cdot h(x)$ der

Produktregelen gir $f''(x) = g'(x)\cdot h(x) + g(x)\cdot h'(x)$.

Vi har $g'(x) = -1$ og $h'(x) = -(x-5)\,e^{-\frac{(x-5)^2}{2}}$ (samme kjerneregel som over), så

Vi utvider $(x-5)^2 - 1 = x^2 - 10x + 25 - 1 = x^2 - 10x + 24$ og får

som er det vi skulle vise.

Vendepunkter

Vendepunkter oppstår der $f''(x) = 0$. Siden $e^{-\frac{(x-5)^2}{2}} > 0$ for alle $x$, må

Vi faktoriserer: $x^2 - 10x + 24 = (x-4)(x-6) = 0$, som gir $x = 4$ eller $x = 6$.

Vi sjekker at $f''$ skifter fortegn i begge punktene (fra $+$ til $-$ ved $x=4$, og fra $-$ til $+$ ved $x=6$) — begge er altså vendepunkter.

$y$-koordinatene:

Vi kan også bruke CAS til å bekrefte derivasjon og løsning:

Vendepunktene er $\left(4,\, e^{-1/2}\right)$ og $\left(6,\, e^{-1/2}\right)$.

Merk at $\mu = 5$ og $\sigma = 1$, og vendepunktene ligger ved $\mu - \sigma = 4$ og $\mu + \sigma = 6$ — dette er en generell egenskap ved normalfordelingens tetthetsfunksjon.

$a = 4$ og $b = 6$ er $x$-koordinatene til vendepunktene. Vi skal beregne

Fra CAS-utregningen (linje 5 i skjermbildet over) får vi det eksakte svaret uttrykt med feilfunksjonen $\text{erf}$:

$P(4 < X < 6) \approx \underline{\underline{0{,}6827}}$

Det betyr at omtrent $68{,}27\,\%$ av observasjonene for en normalfordelt variabel med $\mu = 5$ og $\sigma = 1$ faller innenfor ett standardavvik fra gjennomsnittet.