Normalfordeling og hypotesetest for kroppsvekt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ved et helsestudio registrerte de kroppsvekten til alle de 320 kundene.

Gjennomsnittsvekten var $79{,}2 \text{ kg}$ med et standardavvik på $6{,}4 \text{ kg}$ . Vi antar at kroppsvekten er normalfordelt.

Hvor stor andel av kundene veide mellom $75{,}0 \text{ kg}$ og $85{,}0 \text{ kg}$ ?

Hvor stor andel av kundene veide over $100{,}0 \text{ kg}$ ?

Helsestudioet vil undersøke om treningen påvirker kroppsvekten. De veier derfor 30 tilfeldig valgte kunder etter en periode med jevnlig trening. Gjennomsnittsvekten for disse 30 kundene er $76{,}0 \text{ kg}$ . Vi antar at standardavviket er uendret.

Sett opp en nullhypotese og en alternativ hypotese som passer til denne problemstillingen.

Undersøk om det er grunnlag for å hevde at gjennomsnittsvekten til kundene i helsestudioet har gått ned. Bruk et signifikansnivå på 5 %.

Fasit

1) $\underline{\underline{\approx 56{,}2 \,\%}}$ av kundene veide mellom $75{,}0$ og $85{,}0 \, \mathrm{kg}$

$\underline{\underline{\approx 0{,}058 \,\%}}$ av kundene veide over $100{,}0 \, \mathrm{kg}$

$H_0: \mu = 79{,}2$ , $\quad H_1: \mu < 79{,}2$

$z_{\text{obs}} \approx -2{,}74$ , forkaster $H_0$ på 5 % signifikansnivå — gjennomsnittsvekten har gått ned

LøsningsforslagKI-generert

$X$ er tilnærmet normalfordelt med $\mu = 79{,}2$ og $\sigma = 6{,}4$ .

Vi standardiserer og bruker normalfordelingens kumulatve fordelingsfunksjon $\Phi$ .

1) Andel som veide mellom $75{,}0$ og $85{,}0 \, \mathrm{kg}$ :

Vi beregner z-verdiene for grensene:

z_1 = \frac{75{,}0 - 79{,}2}{6{,}4} = \frac{-4{,}2}{6{,}4} \approx -0{,}656

z_2 = \frac{85{,}0 - 79{,}2}{6{,}4} = \frac{5{,}8}{6{,}4} \approx 0{,}906

Deretter finner vi sannsynligheten med GeoGebra CAS:

P(75{,}0 \leq X \leq 85{,}0) = \Phi(0{,}906) - \Phi(-0{,}656) \approx 0{,}5618

$\underline{\underline{\approx 56{,}2 \,\%}}$ av kundene veide mellom $75{,}0$ og $85{,}0 \, \mathrm{kg}$ .

2) Andel som veide over $100{,}0 \, \mathrm{kg}$ :

z_3 = \frac{100{,}0 - 79{,}2}{6{,}4} = \frac{20{,}8}{6{,}4} = 3{,}25

P(X > 100{,}0) = 1 - \Phi(3{,}25) \approx 0{,}000577

$\underline{\underline{\approx 0{,}058 \,\%}}$ av kundene veide over $100{,}0 \, \mathrm{kg}$ .

Vi ønsker å undersøke om trening har ført til at gjennomsnittsvekten har gått ned. Vi formulerer:

H_0: \mu = 79{,}2 \qquad \text{(gjennomsnittsvekten er uendret)}

H_1: \mu < 79{,}2 \qquad \text{(gjennomsnittsvekten har gått ned)}

Dette er en ensidig hypotesetest (venstre hale), fordi vi undersøker om vekten har gått ned.

Vi gjennomfører en $z$ -test med signifikansnivå $\alpha = 5 \,\%$ .

Gitte opplysninger:

$n = 30$ , $\bar{x} = 76{,}0 \, \mathrm{kg}$ , $\sigma = 6{,}4 \, \mathrm{kg}$ (antatt uendret)
Under $H_0$ er $\mu_0 = 79{,}2$

Teststørrelsen:

z_{\text{obs}} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{76{,}0 - 79{,}2}{6{,}4 / \sqrt{30}}

Kritisk verdi for ensidig test med $\alpha = 5 \,\%$ :

z_{\text{krit}} = \Phi^{-1}(0{,}05) \approx -1{,}6449

Vi beregner $z_{\text{obs}}$ og $z_{\text{krit}}$ i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS — z-test for gjennomsnittsvekt

Fra utklippet leser vi:

z_{\text{obs}} \approx -2{,}739 \qquad z_{\text{krit}} \approx -1{,}6449

Beslutningsregel: Forkast $H_0$ hvis $z_{\text{obs}} < z_{\text{krit}}$ .

-2{,}739 < -1{,}6449 \quad \checkmark

Siden $z_{\text{obs}}$ er mer ekstrem enn den kritiske verdien, forkaster vi $H_0$ .

Det er statistisk grunnlag på 5 % signifikansnivå for å hevde at $\underline{\underline{\text{gjennomsnittsvekten til kundene har gått ned}}}$ etter treningsperioden.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Normalfordeling, Hypotesetest, Statistikk, Sannsynlighet

Normalfordeling og hypotesetest for kroppsvekt

Sync på tvers av enheter

Normalfordeling og hypotesetest for kroppsvekt

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave