Midtpunktsparallelogram i vilkårlig firkant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi skal studere en firkant som er vist på figuren nedenfor.

Firkant ABCD med midtpunkter

Hjørnene i firkanten $A B C D$ er gitt ved $A (0, 0)$ , $B (3, 0)$ , $C (4, 3)$ og $D (- 1, 5)$ .

Regn ut koordinatene til midtpunktene $M_{1}$ , $M_{2}$ , $M_{3}$ og $M_{4}$ i sidekantene i firkanten. Se figuren.

Vis at firkanten $M_{1} M_{2} M_{3} M_{4}$ er et parallellogram.

Hjørnene i en vilkårlig firkant er gitt ved $E (0, 0)$ , $F (a, 0)$ , $G (b, c)$ og $H (d, e)$ . Midtpunktene i sidekantene i firkanten er $N_{1}$ , $N_{2}$ , $N_{3}$ og $N_{4}$ .

Vis at firkanten $N_{1} N_{2} N_{3} N_{4}$ er et parallellogram.

Fasit

$M_{1} (1,5, 0), M_{2} (3,5, 1,5), M_{3} (1,5, 4), M_{4} (- 0,5, 2,5)$

Se bevis i løsningsforslaget

LøsningsforslagKI-generert

Midtpunktet mellom to punkter $(x_{1}, y_{1})$ og $(x_{2}, y_{2})$ er $(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$ .

M_{1} = midtpunkt A B = (\frac{0 + 3}{2}, \frac{0 + 0}{2}) = (1,5, 0)

M_{2} = midtpunkt B C = (\frac{3 + 4}{2}, \frac{0 + 3}{2}) = (3,5, 1,5)

M_{3} = midtpunkt C D = (\frac{4 + (- 1)}{2}, \frac{3 + 5}{2}) = (1,5, 4)

M_{4} = midtpunkt D A = (\frac{- 1 + 0}{2}, \frac{5 + 0}{2}) = (- 0,5, 2,5)

Vi finner vektorene mellom motstående par av midtpunkter:

\vec{M_{1} M_{2}} = M_{2} - M_{1} = (3,5 - 1,5, 1,5 - 0) = (2, 1,5)

\vec{M_{4} M_{3}} = M_{3} - M_{4} = (1,5 - (- 0,5), 4 - 2,5) = (2, 1,5)

Siden $\vec{M_{1} M_{2}} = \vec{M_{4} M_{3}}$ , er $M_{1} M_{2}$ og $M_{4} M_{3}$ parallelle og like lange. Dermed er $M_{1} M_{2} M_{3} M_{4}$ et parallellogram.

Vi lar $N_{1}$ , $N_{2}$ , $N_{3}$ og $N_{4}$ være midtpunktene på henholdsvis $E F$ , $F G$ , $G H$ og $H E$ :

N_{1} = (\frac{a}{2}, 0)

N_{2} = (\frac{a + b}{2}, \frac{c}{2})

N_{3} = (\frac{b + d}{2}, \frac{c + e}{2})

N_{4} = (\frac{d}{2}, \frac{e}{2})

Vi finner vektoren $\vec{N_{1} N_{2}}$ :

\vec{N_{1} N_{2}} = N_{2} - N_{1} = (\frac{a + b}{2} - \frac{a}{2}, \frac{c}{2} - 0) = (\frac{b}{2}, \frac{c}{2})

og vektoren $\vec{N_{4} N_{3}}$ :

\vec{N_{4} N_{3}} = N_{3} - N_{4} = (\frac{b + d}{2} - \frac{d}{2}, \frac{c + e}{2} - \frac{e}{2}) = (\frac{b}{2}, \frac{c}{2})

Siden $\vec{N_{1} N_{2}} = \vec{N_{4} N_{3}} = \frac{1}{2} \vec{E G}$ for enhver vilkårlig firkant, er $N_{1} N_{2}$ og $N_{4} N_{3}$ alltid parallelle og like lange. Dette viser at $N_{1} N_{2} N_{3} N_{4}$ er et parallellogram, uansett hvilken firkant vi starter med.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2008, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Vektorer, Geometri, Bevis

Midtpunktsparallelogram i vilkårlig firkant

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Midtpunktsparallelogram i vilkårlig firkant

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Midtpunktsparallelogram i vilkårlig firkant

Midtpunktsparallelogram i vilkårlig firkant

Lov på eksamen

Temaer