Melkeforbruk i Norge med lineær og andregradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Søylediagram over melkeforbruk per person i Norge 2007–2013

Diagrammet ovenfor viser hvor mange liter melk hver person i Norge drakk i gjennomsnitt hvert år i perioden 2007–2013.

Sett $x = 0$ i 2007, $x = 1$ i 2008 og så videre.

Bruk opplysningene i diagrammet til å bestemme

en lineær funksjon som viser hvordan forbruket av melk har endret seg i denne perioden
en andregradsfunksjon som viser hvordan forbruket av melk har endret seg i denne perioden

Tegn grafene til funksjonene du fant i oppgave a) i et koordinatsystem for $0 \le x \le 25$ .

Hvor mange liter melk vil hver person i Norge i gjennomsnitt drikke hvert år om ti år ifølge hver av de to funksjonene?

Hvor mange liter vil forbruket per person avta med per år om ti år ifølge hver av de to funksjonene?

Fasit

$f(x) = -1{,}44x + 99{,}49$ og $g(x) = -0{,}087x^2 - 0{,}92x + 99{,}05$

Lineær: $\underline{\underline{f(10) \approx 85 \, \mathrm{liter}}}$ , andregrad: $\underline{\underline{g(10) \approx 81 \, \mathrm{liter}}}$

Lineær: $\underline{\underline{{\approx} 1{,}4 \, \text{liter/år}}}$ , andregrad: $\underline{\underline{{\approx} 2{,}6 \, \text{liter/år}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi leser av verdiene fra søylediagrammet og setter opp en tabell med $x = 0$ i 2007:

År	$x$	Liter per person
2007	0	98,68
2008	1	98,32
2009	2	97,30
2010	3	95,78
2011	4	93,55
2012	5	91,60
2013	6	91,00

Vi bruker GeoGebra til å utføre lineær regresjon og andregradregresjon på disse datapunktene.

Lineær modell:

f(x) = -1{,}44x + 99{,}49

Andregradmodell:

g(x) = -0{,}087x^2 - 0{,}92x + 99{,}05

Grafene for begge funksjoner for $0 \le x \le 25$ er vist nedenfor. De røde punktene er de avleste verdiene fra diagrammet. Den blå linjen er den lineære modellen $f(x)$ , og den grønne kurven er andregradmodellen $g(x)$ . Den røde stiplede linjen markerer $x = 10$ (år 2017).

Graf med lineær og andregradmodell for melkeforbruk

Vi ser at de to modellene er nesten like for $x$ -verdier nær måledataene (0–6), men skiller seg mer og mer fra hverandre utover i tid. Andregradmodellen gir en stadig sterkere nedgang, mens den lineære modellen gir en jevn nedgang.

Vi regner ut forbruket om ti år, det vil si i 2017 ( $x = 10$ ), for begge modellene.

Lineær modell:

f(10) = -1{,}44 \cdot 10 + 99{,}49 = -14{,}4 + 99{,}49 \approx 85{,}1

$\textcolor{steelblue}{f(10) \approx 85 \, \mathrm{liter}}$

Ifølge den lineære modellen vil hver person i Norge i gjennomsnitt drikke omtrent $85 \, \mathrm{liter}$ melk i 2017.

Andregradmodell:

g(10) = -0{,}087 \cdot 10^2 - 0{,}92 \cdot 10 + 99{,}05 = -8{,}7 - 9{,}2 + 99{,}05 \approx 81{,}2

$\textcolor{seagreen}{g(10) \approx 81 \, \mathrm{liter}}$

Ifølge andregradmodellen vil hver person i Norge i gjennomsnitt drikke omtrent $81 \, \mathrm{liter}$ melk i 2017.

Vi finner hvor mye forbruket avtar per år om ti år ( $x = 10$ ) for begge modellene.

Lineær modell:

For en lineær funksjon $f(x) = ax + b$ er stigningstallet $a$ konstant — det er det samme overalt på grafen.

f'(x) = a = -1{,}44

Forbruket avtar altså med omtrent $\textcolor{steelblue}{1{,}4 \, \mathrm{liter}}$ per år (det samme hvert år).

Andregradmodell:

For andregradmodellen $g(x) = -0{,}087x^2 - 0{,}92x + 99{,}05$ deriverer vi:

g'(x) = 2 \cdot (-0{,}087) \cdot x + (-0{,}92) = -0{,}174x - 0{,}92

Vi setter inn $x = 10$ :

g'(10) = -0{,}174 \cdot 10 - 0{,}92 = -1{,}74 - 0{,}92 = -2{,}66

Forbruket avtar med omtrent $\textcolor{seagreen}{2{,}6 \, \mathrm{liter}}$ per år om ti år ifølge andregradmodellen.

Andregradmodellen viser altså en stadig sterkere nedgang over tid, mens den lineære modellen holder nedgangen konstant på $1{,}4 \, \mathrm{liter}$ per år.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Regresjon, Lineære funksjoner, Andregradsfunksjon, Modellering

Melkeforbruk i Norge med lineær og andregradsfunksjon

Sync på tvers av enheter

Melkeforbruk i Norge med lineær og andregradsfunksjon

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave