Medisindosering som geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Mads har en kronisk sykdom og er avhengig av medisiner. Hver dag tar han én tablett som inneholder 2,4 mg virkestoff. I løpet av et døgn bryter kroppen ned 25 % av virkestoffet i tabletten.

Hvor mye av det virksomme stoffet har han i kroppen like etter at han har tatt den sjuende tabletten?

Hvor mye virkestoff vil Mads maksimalt ha i kroppen i det lange løp hvis han fortsetter medisineringen?

Det viser seg at Mads ikke tåler mer enn 5,5 mg av det virksomme stoffet i kroppen. Han må derfor la det gå lengre tid mellom hver gang han tar tablettene.

Hvor mange timer må det minst gå mellom hver gang Mads tar en tablett?

Fasit

$\underline{\underline{S_7 \approx 8{,}32 \, \mathrm{mg}}}$

$\underline{\underline{S = 9{,}6 \, \mathrm{mg}}}$

Det må gå minst $\underline{\underline{t \approx 47{,}8 \, \mathrm{timer}}}$ mellom hver tablett.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til å løse alle tre deloppgavene. Se utklippet under.

CAS-utregning for alle tre deloppgaver

Tablettene tas én per døgn (hvert 24. time), og kroppen bryter ned 25 % per døgn, slik at faktoren mellom leddene er $k = 1 - 0{,}25 = 0{,}75$ . Like etter den 7. tabletten er mengden virkestoff summen av bidragene fra alle 7 tabletter:

S_7 = 2{,}4 + 2{,}4 \cdot 0{,}75 + 2{,}4 \cdot 0{,}75^2 + \cdots + 2{,}4 \cdot 0{,}75^6

Dette er en geometrisk rekke med førsteled $a_1 = 2{,}4$ , kvotient $k = 0{,}75$ og 7 ledd. Vi bruker sumformelen:

S_7 = a_1 \cdot \frac{1 - k^7}{1 - k} = 2{,}4 \cdot \frac{1 - 0{,}75^7}{1 - 0{,}75} \approx \underline{\underline{8{,}32 \, \mathrm{mg}}}

(Se linje 3: S_7 := 8.31855 i CAS-utklippet.)

Når Mads tar tabletter i det uendelige dannes en uendelig geometrisk rekke. Siden $|k| = 0{,}75 < 1$ konvergerer rekken, og summen er:

S = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{2{,}4}{1 - 0{,}75} = \frac{2{,}4}{0{,}25} = \underline{\underline{9{,}6 \, \mathrm{mg}}}

(Se linje 4: S_uendelig := 9.6 i CAS-utklippet.)

Hvis Mads tar tabletter med $t$ timers mellomrom i stedet for 24 timer, er nedbrytningsfaktoren per intervall:

r = 0{,}75^{t/24}

I det lange løp samler kroppen opp en mengde som konvergerer mot grenseverdien:

S_\infty = \frac{2{,}4}{1 - r} = \frac{2{,}4}{1 - 0{,}75^{t/24}}

Vi krever at denne ikke overstiger 5,5 mg:

\frac{2{,}4}{1 - 0{,}75^{t/24}} \leq 5{,}5

Vi setter likheten og løser for $t$ med CAS (linje 5):

\frac{2{,}4}{1 - 0{,}75^{t/24}} = 5{,}5 \implies t \approx 47{,}83 \, \mathrm{timer}

Det må altså gå minst $\underline{\underline{t \approx 47{,}8 \, \mathrm{timer}}}$ (knapt 48 timer) mellom hver tablett for at mengden virkestoff i kroppen ikke skal overstige 5,5 mg.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Eksponentialfunksjon

Medisindosering som geometrisk rekke

Sync på tvers av enheter

Medisindosering som geometrisk rekke

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave