Maur på terningoverflate korteste vei

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

Alternativ I

Terning med side 2 og punkt P på kanten EF

Figuren ovenfor viser en terning med side lik 2.

For hånd

Bestem ved regning lengden av linjestykket $A G$ .

Punktet $P$ ligger på sidekanten $E F$ . Vi setter $P F = x$ .

En maur går fra $A$ til $P$ og videre til $G$ på overflaten av terningen (se figuren).

For hånd

Forklar at mauren tilbakelegger strekningen $s$ gitt ved

s (x) = \sqrt{2^{2} + {(2 - x)}^{2}} + \sqrt{x^{2} + 2^{2}}

For hånd

Bruk kalkulator eller et program på datamaskinen til å finne den korteste strekningen mauren kan gå for å komme fra $A$ til $G$ .

For hånd

En elev kommer med følgende påstand: «Hvis jeg svinger opp lokket $E F G H$ om $E F$ , så ser jeg med en gang at $s_{\min} = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = \sqrt{20}$ .»

Tegn en figur og forklar hvordan eleven har resonnert og regnet.

Fasit

$A G = 2 \sqrt{3} \approx 3,46$

Se forklaring i løsningsforslaget.

$s_{\min} = 2 \sqrt{5} = \sqrt{20} \approx 4,47$ (ved $x = 1$ )

Eleven har rett — se forklaring i løsningsforslaget.

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner først diagonalen $A C$ i grunnflaten $A B C D$ , som er et kvadrat med side $2$ . Ved Pytagoras:

A C = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}

Kanten $C G$ står vinkelrett på grunnflaten, så trekanten $A C G$ er rettvinklet i $C$ . Da gir Pytagoras på nytt:

A G = \sqrt{A C^{2} + C G^{2}} = \sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} + 2^{2}} = \sqrt{8 + 4} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}

$A G = 2 \sqrt{3} \approx 3,46$

Mauren går over to sideflater: først sideflaten $A B F E$ fra $A$ til $P$ , deretter topplaten $E F G H$ fra $P$ til $G$ .

Fra $A$ til $P$ : I kvadratet $A B F E$ er vinkelen ved $E$ lik $90 °$ (hjørne i kvadratet). Siden $P F = x$ , er $P E = 2 - x$ . Trekanten $A E P$ er dermed rettvinklet i $E$ med kateter $A E = 2$ og $E P = 2 - x$ :

A P = \sqrt{2^{2} + {(2 - x)}^{2}}

Fra $P$ til $G$ : I kvadratet $E F G H$ er vinkelen ved $F$ lik $90 °$ . Trekanten $P F G$ er rettvinklet i $F$ med kateter $P F = x$ og $F G = 2$ :

P G = \sqrt{x^{2} + 2^{2}}

Siden mauren går rett fram på hver av de to flate sideflatene, er den korteste veien på hver flate en rett linje. Total strekning blir summen av de to rette linjestykkene:

s (x) = A P + P G = \sqrt{2^{2} + {(2 - x)}^{2}} + \sqrt{x^{2} + 2^{2}}

Vi minimerer $s (x)$ for $x \in ⟨ 0, 2 ⟩$ med kalkulator/graftegner. Grafen til $s (x)$ har et bunnpunkt for

x = 1

med funksjonsverdi

s (1) = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} + \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5} + \sqrt{5} = 2 \sqrt{5} = \sqrt{20} \approx 4,47

$s_{\min} = \sqrt{20} \approx 4,47 l . e .$ , og dette skjer når $x = 1$ , altså når $P$ er midtpunktet på $E F$ .

Eleven brettet lokket $E F G H$ opp om hengselet $E F$ , slik at det ligger flatt i samme plan som sideflaten $A B F E$ . Når dette gjøres, blir kanten $B F$ og kanten $F G$ liggende på en og samme rette linje (begge står vinkelrett på $E F$ , og har samme retning etter oppbrettingen), slik at $B G = B F + F G = 2 + 2 = 4$ .

Sideflaten og lokket brettet ut flatt, med rett linje fra A til G

I det utbrettede nettet er trekanten $A B G$ rettvinklet i $B$ , med kateter $A B = 2$ og $B G = 4$ . Pytagoras gir da

A G = \sqrt{A B^{2} + B G^{2}} = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = \sqrt{20}

Dette er nøyaktig det eleven påstår. Resonnementet er riktig: siden $A$ og $G$ nå ligger i samme plan (de to flatene er brettet flate uten å endre lengder på flatene), er den rette linjen $A G$ den korteste veien mellom punktene i dette planet. Denne rette linjen krysser hengselkanten $E F$ i et punkt — og det er akkurat dette punktet som er det optimale $P$ -et. Kontroll: linjen fra $A = (0,0)$ til $G = (2,4)$ krysser $E F$ (linjen $y = 2$ ) når $x$ -koordinaten er $1$ , altså der $P F = 1$ — som stemmer med minimumspunktet $x = 1$ funnet i c).

Eleven har altså funnet den korteste veien uten å bruke derivasjon, ved å utnytte at en rett linje er den korteste forbindelsen mellom to punkter i et plan.

$Elevens påstand er korrekt: s_{\min} = \sqrt{20}$

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2010, del 2, oppgave 6-I
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Optimering, Romgeometri, Geometri

Maur på terningoverflate korteste vei

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Maur på terningoverflate korteste vei

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Maur på terningoverflate korteste vei

Maur på terningoverflate korteste vei

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer