Vi kaller de tre likningene L1, L2 og L3:

$$\begin{aligned} \text{L1:} &\quad x + 2y - z = 2 \\ \text{L2:} &\quad 2x - y + z = 3 \\ \text{L3:} &\quad 3x - 2y + 2z = 2 \end{aligned}$$

Steg 1: Eliminer $z$ og finn $x$

Vi regner ut $2 \cdot \text{L2} - \text{L3}$:

$$2(2x - y + z) - (3x - 2y + 2z) = 2 \cdot 3 - 2$$ $$4x - 2y + 2z - 3x + 2y - 2z = 4$$ $$x = 4$$

Steg 2: Sett inn $x = 4$ og lag to nye likninger

I L1: $\quad 4 + 2y - z = 2 \implies 2y - z = -2 \quad \text{(L4)}$

I L2: $\quad 8 - y + z = 3 \implies {-y + z = -5} \quad \text{(L5)}$

Steg 3: Løs systemet L4 og L5

Vi adderer L4 og L5:

$$(2y - z) + (-y + z) = -2 + (-5)$$ $$y = -7$$

Fra L5: $\quad -(-7) + z = -5 \implies z = -5 - 7 = -12$

Svar: $x = 4,\; y = -7,\; z = -12$

Prøve:

• L1: $4 + 2(-7) - (-12) = 4 - 14 + 12 = 2$ ✓
• L2: $2(4) - (-7) + (-12) = 8 + 7 - 12 = 3$ ✓
• L3: $3(4) - 2(-7) + 2(-12) = 12 + 14 - 24 = 2$ ✓