Lønnsmodell med integral og rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Julie har fått seg ny jobb. Funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = 400\,000 \cdot 1{,}05^x

er en god modell for årslønnen (i kroner) til Julie $x$ år etter at hun startet i jobben.

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ for $0 \le x \le 35$ .

Når vil årslønnen hennes passere $800\,000$ kroner?

Bruk CAS til å bestemme hvor mange år det går før lønnsøkningen per år passerer $50\,000$ kroner.

Julie regner med å jobbe i bedriften i $30$ år.

Bestem en tilnærmingsverdi for hvor mye hun vil tjene i løpet av denne perioden, ved å regne ut et integral.

Bestem hvor mye hun vil tjene i løpet av denne perioden, ved å summere leddene i en rekke.

Fasit

Se graf nedenfor.

$\underline{\underline{x \approx 14{,}2 \text{~år}}}$ — årslønnen passerer 800 000 kr i løpet av det 15. året.

$\underline{\underline{x \approx 18{,}8 \text{~år}}}$ — lønnsøkningen per år passerer 50 000 kr i løpet av det 19. året.

$\underline{\underline{\int_0^{30} f(x) \, \mathrm{d}x \approx 27\,234\,525 \, \mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{S \approx 26\,575\,539 \, \mathrm{kr}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker graftegner og tegner $f(x) = 400\,000 \cdot 1{,}05^x$ for $0 \le x \le 35$ .

Graf av f(x) = 400 000 · 1,05^x med den horisontale linjen y = 800 000

Grafen viser f(x) = 400 000 · 1,05^x (blå kurve). Den horisontale linjen Grense800k: y = 800000 (grønn) er tegnet inn for å hjelpe med deloppgave b.

Vi løser likningen $f(x) = 800\,000$ i CAS (se linje 2 i utklippet nedenfor).

CAS-utklipp med alle beregninger

CAS gir $x \approx 14{,}21$ . Vi kan også utlede dette for hånd:

400\,000 \cdot 1{,}05^x = 800\,000

1{,}05^x = 2

x = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}21

Skjæringspunktet SkjaeringB = (14.21, 800000) er markert i grafen.

Julies årslønn passerer 800 000 kr etter ca. 14,2 år, det vil si i løpet av det 15. arbeidsåret.

Lønnsøkningen fra år $x$ til år $x+1$ er

f(x+1) - f(x) = 400\,000 \cdot 1{,}05^{x+1} - 400\,000 \cdot 1{,}05^x = 400\,000 \cdot 1{,}05^x \cdot (1{,}05 - 1) = 20\,000 \cdot 1{,}05^x

Vi definerer Lønnsøkning(x) := f(x+1) - f(x) i CAS og løser likningen $\text{Lønnsøkning}(x) = 50\,000$ (linje 3–4 i CAS-utklippet).

CAS gir $x \approx 18{,}78$ . Vi kan også utlede det for hånd:

20\,000 \cdot 1{,}05^x = 50\,000

1{,}05^x = 2{,}5

x = \frac{\ln 2{,}5}{\ln 1{,}05} \approx 18{,}78

Lønnsøkningen per år passerer 50 000 kr etter ca. 18,8 år, det vil si i løpet av det 19. arbeidsåret.

Vi beregner det bestemte integralet i CAS (linje 5 i utklippet):

\int_0^{30} 400\,000 \cdot 1{,}05^x \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{400\,000 \cdot 1{,}05^x}{\ln 1{,}05} \right]_0^{30} = \frac{400\,000 \cdot (1{,}05^{30} - 1)}{\ln 1{,}05} \approx 27\,234\,525 \, \mathrm{kr}

Julies samlede lønn over 30 år er tilnærmet $\underline{\underline{27\,234\,525 \, \mathrm{kr} \approx 27{,}2 \, \text{mill. kr}}}$ beregnet ved integral.

Integralet forutsetter at lønnen vokser kontinuerlig, noe som er en tilnærming.

Julie mottar lønn for hvert av de 30 årene $x = 0, 1, 2, \ldots, 29$ . Den samlede lønnen er summen av en geometrisk rekke med $a_1 = f(0) = 400\,000$ , kvotient $k = 1{,}05$ og $n = 30$ ledd:

S = \sum_{x=0}^{29} 400\,000 \cdot 1{,}05^x = 400\,000 \cdot \frac{1{,}05^{30} - 1}{1{,}05 - 1}

CAS gir (linje 6 i utklippet):

S = 400\,000 \cdot \frac{1{,}05^{30} - 1}{0{,}05} \approx 26\,575\,539 \, \mathrm{kr}

Julies samlede lønn over 30 år er $\underline{\underline{26\,575\,539 \, \mathrm{kr} \approx 26{,}6 \, \text{mill. kr}}}$ beregnet som geometrisk rekke.

Legg merke til at integralet (ca. 27,2 mill.) gir et litt høyere svar enn rekken (ca. 26,6 mill.). Dette er fordi integralet behandler lønnen som et kontinuerlig beløp, mens rekken er den reelle diskrete utbetalingen. Integralet er altså en tilnærmingsverdi, mens rekken gir det eksakte svaret.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 10
Temaer: Eksponentialfunksjon, Bestemt integral, Geometrisk rekke

Lønnsmodell med integral og rekke

Sync på tvers av enheter

Lønnsmodell med integral og rekke

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave