Logistisk vekstmodell for sykdomsspredning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = \frac{1000}{10 + e^{(3{,}912-0{,}5x)}}, \quad x \geq 0

Vis ved regning at $f(x)$ kan skrives på formen $f(x) = \dfrac{100}{1 + 5{,}0 \cdot e^{-0{,}5x}}$

Funksjonsverdiene til $f$ er antall individer som har, eller har hatt, en sykdom $x$ dager etter at sykdommen ble registrert første gang.

Bestem hvor mange som hadde sykdommen da den ble registrert første gang, ifølge denne modellen.

Tegn grafen til $f$ . Hvor mange individer vil få sykdommen i det lange løp?

Bestem hvor mange som fikk sykdommen den sjette dagen etter at sykdommen ble registrert første gang.

Fasit

Se utledning nedenfor.

$\underline{\underline{f(0) \approx 17}}$ — ca. 17 individer hadde sykdommen da den ble registrert.

$\underline{\underline{\lim_{x \to \infty} f(x) = 100}}$ — totalt 100 individer vil få sykdommen i det lange løp.

$\underline{\underline{f(6) - f(5) \approx 9}}$ — ca. 9 individer fikk sykdommen den sjette dagen.

LøsningsforslagKI-generert

Vi ønsker å vise at

f(x) = \frac{1000}{10 + e^{(3{,}912-0{,}5x)}}

kan skrives som

f(x) = \frac{100}{1 + 5{,}0 \cdot e^{-0{,}5x}}

Vi starter med å faktorisere $10$ ut av nevneren:

f(x) = \frac{1000}{10 + e^{3{,}912 - 0{,}5x}} = \frac{1000}{10\left(1 + \dfrac{e^{3{,}912 - 0{,}5x}}{10}\right)}

Vi forkorter brøken med $10$ :

f(x) = \frac{100}{1 + \dfrac{e^{3{,}912} \cdot e^{-0{,}5x}}{10}}

Vi bruker at $e^{3{,}912} \approx 50$ , altså $\dfrac{e^{3{,}912}}{10} \approx \dfrac{50}{10} = 5{,}0$ :

f(x) = \frac{100}{1 + 5{,}0 \cdot e^{-0{,}5x}}

Dette er det vi ønsket å vise. $\square$

Vi setter $x = 0$ (da sykdommen ble registrert første gang):

f(0) = \frac{100}{1 + 5{,}0 \cdot e^{-0{,}5 \cdot 0}} = \frac{100}{1 + 5{,}0 \cdot 1} = \frac{100}{6} \approx 16{,}7

Siden antall individer må være et helt tall, var det ca. 17 individer som hadde sykdommen da den ble registrert første gang.

Grafen til $f$ er tegnet i GeoGebra. Den stiplede røde linjen viser grenseverdien $y = 100$ .

Graf av logistisk funksjon f(x) med grenseverdi 100

Ettersom $e^{-0{,}5x} \to 0$ når $x \to \infty$ , får vi

\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{100}{1 + 5{,}0 \cdot 0} = \frac{100}{1} = 100

I det lange løp vil totalt 100 individer få sykdommen.

Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne $f(6) - f(5)$ :

GeoGebra CAS: beregning av f(5), f(6) og differansen

f(5) \approx 70{,}9 \qquad f(6) \approx 80{,}1

f(6) - f(5) \approx 80{,}1 - 70{,}9 \approx 9{,}17

Siden $x$ teller dager, er $f(6) - f(5)$ antall nye individer som fikk sykdommen den sjette dagen. Vi runder til nærmeste hele tall.

Ca. 9 individer fikk sykdommen den sjette dagen etter at sykdommen ble registrert første gang.

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter