Logaritmelikning og eksponentiallikning med 2e opphøyd i minus x

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene

\lg x^{3} - 2 \lg x = 3

e^{x} - 2 e^{- x} - 1 = 0

Fasit

$x = 1000$

$x = \ln 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker logaritmeregelen $\lg (x^{n}) = n \lg x$ på $\lg x^{3}$ :

\lg x^{3} - 2 \lg x = 3

3 \lg x - 2 \lg x = 3

\lg x = 3

x = 10^{3} = 1000

Kravet til definisjonsmengden er $x > 0$ , og $x = 1000$ oppfyller dette.

e^{x} - 2 e^{- x} - 1 = 0

Vi multipliserer hele likningen med $e^{x}$ (som aldri er null):

e^{x} \cdot e^{x} - 2 e^{- x} \cdot e^{x} - 1 \cdot e^{x} = 0

e^{2 x} - 2 - e^{x} = 0

Dette er en andregradslikning i $e^{x}$ . Vi substituerer $u = e^{x}$ (med $u > 0$ ):

u^{2} - u - 2 = 0

Faktorisering gir

(u - 2) (u + 1) = 0 \Rightarrow u = 2 \lor u = - 1

Siden $u = e^{x} > 0$ for alle $x$ , må vi forkaste løsningen $u = - 1$ . Da står vi igjen med

e^{x} = 2 \Rightarrow x = \ln 2

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2022, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Logaritmer, Likninger, Eksponentialfunksjon, Andregradslikninger

Innstillinger