Logaritmefunksjon uten ekstremalpunkter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = \ln (x^{2} - 2 x)

Bestem definisjonsmengden til $f$ .

Bruk derivasjon til å vise at $f$ verken har ekstremalpunkter eller vendepunkter.

Fasit

$D_{f} = ⟨ \leftarrow, 0 ⟩ \cup ⟨ 2, \to ⟩$

$f^{'} (x) = 0$ gir $x = 1$ , som ikke er i definisjonsmengden

LøsningsforslagKI-generert

Vi trenger $x^{2} - 2 x > 0$ , altså $x (x - 2) > 0$ .

Fortegnslinje for $x (x - 2)$ :

Fortegnslinje for x(x-2)

D_{f} = ⟨ \leftarrow, 0 ⟩ \cup ⟨ 2, \to ⟩

Vi deriverer med kjerneregelen:

f^{'} (x) = \frac{2 x - 2}{x^{2} - 2 x} = \frac{2 (x - 1)}{x (x - 2)}

$f^{'} (x) = 0$ gir $x = 1$ . Men $x = 1$ ligger ikke i definisjonsmengden (siden $1 \in ⟨ 0, 2 ⟩$ der $f$ ikke er definert). Dermed har $f$ ingen ekstremalpunkter.

Vi deriverer på nytt:

f^{'} (x) = \frac{2 (x - 1)}{x^{2} - 2 x}

Med kvotientregelen:

f^{''} (x) = \frac{2 (x^{2} - 2 x) - 2 (x - 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}

= \frac{2 x^{2} - 4 x - 2 (x - 1) \cdot 2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}} = \frac{2 x^{2} - 4 x - 4 {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}

= \frac{2 x^{2} - 4 x - 4 x^{2} + 8 x - 4}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}} = \frac{- 2 x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}

= \frac{- 2 (x^{2} - 2 x + 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}

Diskriminanten til $x^{2} - 2 x + 2$ er $4 - 8 = - 4 < 0$ , så telleren i $f^{''} (x)$ er alltid $\neq 0$ for alle reelle $x$ . Dermed har $f$ heller ingen vendepunkter.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2020, del 1, oppgave 8
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Logaritmer, Funksjonsdrøfting, Funksjoner
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Logaritmefunksjon uten ekstremalpunkter

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Logaritmefunksjon uten ekstremalpunkter

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Logaritmefunksjon uten ekstremalpunkter

Logaritmefunksjon uten ekstremalpunkter

Lov på eksamen

Temaer