Linje med negativt stigningstall og minimalt trekantareal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En rett linje med stigningstall $a$ går gjennom punktet $(2,\, 1)$ . Linjen skal synke mot høyre.

Linje gjennom (2,1) med skjæringspunkter A og B

Vis at ligningen til linjen kan skrives som $y = ax - 2a + 1 \quad , \quad \text{der } a < 0$

Vi kaller skjæringspunktet med $x$ -aksen for $A$ og skjæringspunktet med $y$ -aksen for $B$ . Vi lar $F(a)$ være arealet av trekanten $OAB$ . $O$ er origo. Skissene nedenfor viser trekantene for $a = -5$ , $a = -2$ , $a = -0{,}5$ og $a = -0{,}1$ .

Trekanter OAB for ulike verdier av a

I denne oppgaven skal du finne ut hvilken $a$ -verdi som gjør arealet minst.

Vis at $F(a) = -\dfrac{(2a-1)^2}{2a}$

Tegn grafen til $F$ . Velg $a$ -verdier i intervallet $\left[-5,\, -\dfrac{1}{10}\right]$ . Bruk grafen til å finne det minste arealet og det tilhørende stigningstallet til linjen.

Vis ved regning at $F'(a) = \dfrac{(2a-1) \cdot (-2a-1)}{2a^2}$

Tegn fortegnslinjen til $F'(a)$ og bruk den til å finne det minste arealet. Hva er ligningen til linjen når arealet er minst?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Derivasjon, Optimering, Areal, Lineære funksjoner, Fortegnslinje

Linje med negativt stigningstall og minimalt trekantareal

Sync på tvers av enheter

Linje med negativt stigningstall og minimalt trekantareal

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave