Lineær optimering for tekstilverksted

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Helga har sitt eget tekstilverksted. Hun syr kjoler og skjørt. Hun forbereder seg til en utstilling, hvor hun håper å oppnå godt salg.

Kjolene og skjørtene syr hun av stoff som hun selv kjøper inn. Til kjolene bruker hun et silkestoff som koster 200 kroner per meter. I skjørtene bruker hun et bomullsstoff som koster 125 kroner per meter. Hun kan bruke inntil 10 000 kroner på innkjøp av stoff. Men hun vil ikke satse mer enn 7 500 kroner på hvert av stoffene.

En kjole lages av 2,5 meter silkestoff. Til et skjørt går det med 2,0 meter bomullsstoff. Hun trenger 4 timer til å sy en kjole og 1 time til å sy et skjørt. Hun kan bruke inntil 60 timer på å sy før utstillingen.

Helga regner med å kunne selge kjolene for 2 200 kroner stykket og skjørtene for 900 kroner stykket.

Hun syr og selger $x$ kjoler og $y$ skjørt.

For hånd

Forklar at opplysningene ovenfor gir disse ulikhetene:

$x \geq 0$ og $y \geq 0$

$x \leq 15$ og $y \leq 30$

y \leq - 2 x + 40

y \leq - 4 x + 60

Kalkulator

Skraver i et koordinatsystem det området som er definert av ulikhetene.

Kalkulator

Finn den største salgsinntekten Helga kan oppnå. Forklar framgangsmåten.

Kalkulator

Hva blir overskuddet hvis hun oppnår høyest salgsinntekt? Overskuddet blir lønn til Helga. Hva blir timelønna når hun i tillegg til syingen må bruke 30 arbeidstimer på selve utstillingen?

Fasit

Se forklaring.

Se skravert område.

$I_{\max} = 40 000 kr ved x = 10, y = 20$

$Overskudd = 30 000 kr, timelønn \approx 333,33 k r / t$

LøsningsforslagKI-generert

Helga syr $x$ kjoler og $y$ skjørt. Hun kan ikke sy et negativt antall plagg, så

x \geq 0 og y \geq 0

Stoffkostnadene per stoff er begrenset til $7 500 kr$ hver. Til én kjole går det med $2,5 m$ silkestoff som koster $200 k r / m$ , altså $200 \cdot 2,5 = 500 kr$ per kjole. Kostnaden for silke til $x$ kjoler er da $500 x kr$ , og kravet er

500 x \leq 7 500 \Rightarrow x \leq 15

Til ett skjørt går det med $2,0 m$ bomullsstoff som koster $125 k r / m$ , altså $125 \cdot 2 = 250 kr$ per skjørt. Kostnaden for bomull til $y$ skjørt er $250 y kr$ , og kravet er

250 y \leq 7 500 \Rightarrow y \leq 30

Den totale stoffkostnaden kan ikke overstige $10 000 kr$ :

500 x + 250 y \leq 10 000

Deler vi begge sider med $250$ , får vi

2 x + y \leq 40 \Rightarrow y \leq - 2 x + 40

Sytiden er begrenset til $60$ timer. Det tar $4$ timer å sy en kjole og $1$ time å sy et skjørt, så

4 x + y \leq 60 \Rightarrow y \leq - 4 x + 60

Det tillatte området er skravert i figuren under. Grensene $x = 15$ og $y = 30$ er ikke aktive utenom hjørnene, siden $2 x + y \leq 40$ og $4 x + y \leq 60$ sammen med $x, y \geq 0$ automatisk holder $x \leq 15$ og $y \leq 30$ i resten av området.

Det tillatte området er en femkant (pentagon) avgrenset av $x \geq 0$ , $y \geq 0$ , $y \leq 30$ , $y \leq - 2 x + 40$ og $y \leq - 4 x + 60$ . Siden $I = 2200 x + 900 y$ er en lineær funksjon, vet vi at maksimum må ligge i et av hjørnepunktene i det tillatte området.

Vi finner hjørnepunktene ved å skjære grenselinjene parvis:

{\begin{matrix} y = - 2 x + 40 \\ y = - 4 x + 60 \end{matrix} \Rightarrow - 2 x + 40 = - 4 x + 60 \Rightarrow 2 x = 20 \Rightarrow x = 10, y = 20

{\begin{matrix} y = 30 \\ y = - 2 x + 40 \end{matrix} \Rightarrow 30 = - 2 x + 40 \Rightarrow x = 5, y = 30

Sammen med de opplagte hjørnene $(0,0)$ , $(15,0)$ (der $y = - 4 x + 60 = 0$ ) og $(0,30)$ , blir hjørnepunktene:

(0,0), (15,0), (10,20), (5,30), (0,30)

Vi setter inn i $I = 2200 x + 900 y$ for hvert hjørnepunkt:

Hjørnepunkt	$I = 2200x + 900y$
$(0,0)$	$0 \, \mathrm{kr}$
$(15,0)$	$2200 \cdot 15 = 33\,000 \, \mathrm{kr}$
$(10,20)$	$2200 \cdot 10 + 900 \cdot 20 = 40\,000 \, \mathrm{kr}$
$(5,30)$	$2200 \cdot 5 + 900 \cdot 30 = 38\,000 \, \mathrm{kr}$
$(0,30)$	$900 \cdot 30 = 27\,000 \, \mathrm{kr}$

Størst salgsinntekt får Helga i hjørnepunktet $(10,20)$ , altså ved å sy $10$ kjoler og $20$ skjørt:

I_{\max} = 40 000 kr

Figuren under viser det tillatte området (grønt), grenselinjene og punktet $C = (10,20)$ der maksimum inntreffer. Den stiplede oransje linjen er inntektslinja $2200 x + 900 y = 40 000$ , som akkurat berører det tillatte området i $C$ .

Tillatt område med maksimalt hjørnepunkt

Svar: $I_{\max} = 40 000 kr ved x = 10 kjoler og y = 20 skjørt$

Overskuddet er salgsinntekten minus stoffkostnadene. Ved $x = 10$ og $y = 20$ er stoffkostnadene

500 \cdot 10 + 250 \cdot 20 = 5 000 + 5 000 = 10 000 kr

Overskuddet blir dermed

40 000 - 10 000 = 30 000 kr

Sytiden ved $x = 10$ , $y = 20$ er

4 \cdot 10 + 1 \cdot 20 = 60 timer

I tillegg bruker Helga $30$ timer på selve utstillingen, så totalt arbeidstid blir

60 + 30 = 90 timer

Timelønna blir da

\frac{30 000}{90} \approx 333,33 k r / t

Svar: $Overskudd = 30 000 kr, timelønn \approx 333,33 k r / t$

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2009, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Lineær optimering, Ulikheter, Likningssystem

Lineær optimering for tekstilverksted

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Lineær optimering for tekstilverksted

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Lineær optimering for tekstilverksted

Lineær optimering for tekstilverksted

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer