Lineær optimering for poteter og kålrabi

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bonde har et jorde der han skal dyrke poteter og kålrabi. Jordet er på 11 dekar. Han bruker $x$ dekar til poteter og $y$ dekar til kålrabi.

Investeringene er kr 1 200 per dekar for poteter og kr 800 per dekar for kålrabi. Han har anledning til å investere inntil kr 12 000 til denne produksjonen.

Bonden regner med å bruke 10 timer per dekar til å stelle potetene og 20 timer per dekar til å stelle kålrabien. Han kan bruke inntil 200 timer på dette jordet.

Koordinatsystem med de tre linjene y_1, y_2 og y_3

For hånd

På figuren er det tegnet inn tre linjer $y_{1}$ , $y_{2}$ og $y_{3}$ . Bruk figuren og finn likningen til hver av de tre rette linjene.

For hånd

Forklar hvilke opplysninger i den innledende teksten som kan knyttes til hver av likningene.

For hånd

Bruk den innledende teksten til å begrunne i hvilket område på figuren punktene $(x, y)$ kan ligge. Tegn figuren i egen besvarelse, og skraver området.

Bonden selger avlingen. Han får kr 2,– per kg for poteter og kr 2,50 per kg for kålrabi. Bonden regner med at han produserer 6 000 kg poteter per dekar og 7 000 kg kålrabi per dekar.

Kalkulator

Sett opp en aktuell problemstilling for bonden, og løs den.

Fasit

$y_{1} = 15 - 1,5 x$ , $y_{2} = 10 - 0,5 x$ , $y_{3} = 11 - x$

$y_{1}$ : investeringsbetingelsen, $y_{2}$ : tidsbetingelsen, $y_{3}$ : arealbetingelsen

Det tillatte området er femkanten med hjørner $(0,0)$ , $(10,0)$ , $(8,3)$ , $(2,9)$ og $(0,10)$

$x = 2 dekar poteter, y = 9 dekar kålrabi, maks. inntekt 181 500 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Vi leser av skjæringspunktene til de tre linjene med aksene på figuren.

$y_{1}$ skjærer $y$ -aksen i $(0, 15)$ og $x$ -aksen i $(10, 0)$ . Stigningstallet blir

a = \frac{0 - 15}{10 - 0} = - 1,5

y_{1} = 15 - 1,5 x

$y_{2}$ skjærer $y$ -aksen i $(0, 10)$ og $x$ -aksen i $(20, 0)$ . Stigningstallet blir

a = \frac{0 - 10}{20 - 0} = - 0,5

y_{2} = 10 - 0,5 x

$y_{3}$ skjærer $y$ -aksen i $(0, 11)$ og $x$ -aksen i $(11, 0)$ . Stigningstallet blir

a = \frac{0 - 11}{11 - 0} = - 1

y_{3} = 11 - x

Vi setter opp de tre bibetingelsene fra teksten og skriver dem om på formen $y = \dots$ , slik at de kan sammenlignes med linjene på figuren.

Areal: Jordet er på $11$ dekar, så

x + y \leq 11 \Rightarrow y \leq 11 - x

Dette er $y_{3}$ .

Investering: Poteter koster $1200$ kr/dekar og kålrabi $800$ kr/dekar, med et budsjett på $12 000$ kr:

1200 x + 800 y \leq 12 000

Vi deler alle ledd på $800$ :

1,5 x + y \leq 15 \Rightarrow y \leq 15 - 1,5 x

Dette er $y_{1}$ .

Tid: Det brukes $10$ timer/dekar på poteter og $20$ timer/dekar på kålrabi, med inntil $200$ timer tilgjengelig:

10 x + 20 y \leq 200

Vi deler alle ledd på $20$ :

0,5 x + y \leq 10 \Rightarrow y \leq 10 - 0,5 x

Dette er $y_{2}$ .

I tillegg må $x \geq 0$ og $y \geq 0$ , siden $x$ og $y$ er arealer og ikke kan være negative.

Punktene $(x, y)$ må altså ligge i første kvadrant, og samtidig under eller på alle de tre linjene $y_{1}$ , $y_{2}$ og $y_{3}$ — fordi alle tre bibetingelsene er «mindre enn eller lik»-ulikheter. Det tillatte området blir da avgrenset nedenfra av $x$ -aksen og $y$ -aksen, og ovenfra av den linjen som til enhver tid ligger lavest av $y_{1}$ , $y_{2}$ og $y_{3}$ :

For $0 \leq x \leq 2$ er $y_{2}$ lavest (tidsbetingelsen er strengest).
For $2 \leq x \leq 8$ er $y_{3}$ lavest (arealbetingelsen er strengest).
For $8 \leq x \leq 10$ er $y_{1}$ lavest (investeringsbetingelsen er strengest).

Det tillatte området blir dermed en femkant med hjørner i $(0,0)$ , $(10,0)$ , $(8,3)$ , $(2,9)$ og $(0,10)$ , der de to siste hjørnene er skjæringspunktene $y_{2} \cap y_{3}$ og $y_{1} \cap y_{3}$ .

Illustrasjon: det tillatte området (skravert) med de tre bibetingelsene og maksimumspunktet (2,9)

En aktuell problemstilling for bonden er å finne ut hvor mange dekar poteter ( $x$ ) og kålrabi ( $y$ ) han bør dyrke for å maksimere inntekten, innenfor bibetingelsene fra oppgave c).

Inntekt per dekar poteter er

6000 kg \cdot 2 k r / k g = 12 000 kr

Inntekt per dekar kålrabi er

7000 kg \cdot 2,50 k r / k g = 17 500 kr

Inntektsfunksjonen blir dermed

I (x, y) = 12 000 x + 17 500 y

I lineær optimering vet vi at maksimum av en lineær målfunksjon over et tillatt område alltid finnes i et av hjørnene i området. Vi setter derfor inn hjørnene fra oppgave c) i $I (x, y)$ :

Hjørne $(x, y)$	$I(x, y) = 12\,000x + 17\,500y$
$(0, 0)$	$0 \, \mathrm{kr}$
$(10, 0)$	$120\,000 \, \mathrm{kr}$
$(8, 3)$	$12\,000 \cdot 8 + 17\,500 \cdot 3 = 148\,500 \, \mathrm{kr}$
$(2, 9)$	$12\,000 \cdot 2 + 17\,500 \cdot 9 = 181\,500 \, \mathrm{kr}$
$(0, 10)$	$0 + 175\,000 = 175\,000 \, \mathrm{kr}$

Størst inntekt får bonden i hjørnet $(2, 9)$ .

Konklusjon: Bonden bør dyrke $2$ dekar poteter og $9$ dekar kålrabi. Da blir inntekten

I (2, 9) = 181 500 kr

som er den høyest mulige inntekten innenfor bibetingelsene.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2008, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Lineær optimering, Ulikheter, Lineære funksjoner

Lineær optimering for poteter og kålrabi

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Lineær optimering for poteter og kålrabi

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Lineær optimering for poteter og kålrabi

Lineær optimering for poteter og kålrabi

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer