Kuleflate og plan med avstandsformel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $P (2, 4, - 3)$ og $Q (0, 0, 1)$ ligger på en kuleflate $K$ slik at $P Q$ er en diameter til kuleflaten.

Kalkulator

Vis at kuleflaten $K$ er gitt ved likningen

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9

Planet $α$ er gitt ved

α : x - y + z = 7

Kalkulator

Bestem eksakt den minste avstanden mellom kuleflaten $K$ og planet $α$ .

Et plan $β$ er gitt ved likningen

β : 2 x + y + t (z - 3) = - 1

Kalkulator

Vis at avstanden mellom sentrum i kuleflaten $K$ og planet $β$ er gitt ved

d (t) = \frac{| 5 - 4 t |}{\sqrt{5 + t^{2}}}

Kalkulator

Bestem eksakte verdier for $t$ slik at planet $β$ tangerer kuleflaten $K$ .

Fasit

$Sentrum (1, 2, - 1), r = 3$

$3 \sqrt{3} - 3$

$d (t) = \frac{| 5 - 4 t |}{\sqrt{5 + t^{2}}}$

$t = \frac{20 \pm 6 \sqrt{15}}{7}$

LøsningsforslagKI-generert

Sentrum $S$ i kuleflaten er midtpunktet på diameteren $P Q$ :

S = (\frac{2 + 0}{2}, \frac{4 + 0}{2}, \frac{- 3 + 1}{2}) = (1, 2, - 1)

Radien er halve lengden av $P Q$ :

\vec{P Q} = (0 - 2, 0 - 4, 1 - (- 3)) = (- 2, - 4, 4)

| \vec{P Q} | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 4)}^{2} + 4^{2}} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6

r = \frac{| \vec{P Q} |}{2} = \frac{6}{2} = 3

Setter sentrum og radius inn i standardformen for kuleflaten ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = r^{2}$ :

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 3^{2} = 9 ■

Planet $α : x - y + z = 7$ har normalvektor $\vec{n} = (1, - 1, 1)$ . Avstanden fra sentrum $S (1, 2, - 1)$ til planet er

d = \frac{| 1 \cdot 1 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot (- 1) - 7 |}{\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}} = \frac{| 1 - 2 - 1 - 7 |}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3 \sqrt{3}

Siden $d = 3 \sqrt{3} \approx 5,20 > r = 3$ , skjærer ikke planet kuleflaten. Den minste avstanden mellom kuleflaten $K$ og planet $α$ er da avstanden fra sentrum til planet minus radien:

d_{\min} = 3 \sqrt{3} - 3

d_{\min} = 3 \sqrt{3} - 3 l . e .

Vi skriver om likningen for $β$ på normalform $A x + B y + C z + D = 0$ :

β : 2 x + y + t (z - 3) = - 1 ⟹ 2 x + y + t z - 3 t + 1 = 0

Normalvektoren til $β$ er $\vec{n} = (2, 1, t)$ . Setter inn sentrum $S (1, 2, - 1)$ i avstandsformelen:

d (t) = \frac{| 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + t \cdot (- 1) - 3 t + 1 |}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + t^{2}}} = \frac{| 2 + 2 - t - 3 t + 1 |}{\sqrt{5 + t^{2}}} = \frac{| 5 - 4 t |}{\sqrt{5 + t^{2}}} ■

Planet $β$ tangerer kuleflaten $K$ når avstanden fra sentrum til planet er lik radien, altså $d (t) = 3$ :

\frac{| 5 - 4 t |}{\sqrt{5 + t^{2}}} = 3

Kvadrerer begge sider for å bli kvitt absoluttverdi og rot:

{(5 - 4 t)}^{2} = 9 (5 + t^{2})

25 - 40 t + 16 t^{2} = 45 + 9 t^{2}

7 t^{2} - 40 t - 20 = 0

Løser andregradslikningen med abc-formelen:

t = \frac{40 \pm \sqrt{{(- 40)}^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 7} = \frac{40 \pm \sqrt{1600 + 560}}{14} = \frac{40 \pm \sqrt{2160}}{14} = \frac{40 \pm 12 \sqrt{15}}{14}

t = \frac{20 \pm 6 \sqrt{15}}{7}

Løsningen er verifisert i GeoGebra CAS:

Verifisering av løsning t i CAS

t = \frac{20 + 6 \sqrt{15}}{7} eller t = \frac{20 - 6 \sqrt{15}}{7}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2019, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Romgeometri, Kule, Plan, Vektorer

Kuleflate og plan med avstandsformel

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kuleflate og plan med avstandsformel

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kuleflate og plan med avstandsformel

Kuleflate og plan med avstandsformel

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer